На каждый день | Алгебра

АЛГЕБРА

Основные алгебраические действия:

aⁿ = a·a·a..., где число множителей равно ;

Логарифмы:

Если аⁿ = N, где, а > 0 и а ≠ 1, то n = lg_a N.

При a =10 логарифм называется десятичным и обозначается IgN, при а = е логарифм называется натуральным и обозначается InN. Число е (неперово число) равно:

Зная логарифмы чисел при одном основании , можно определить логарифмы этих чисел при другом основании по формуле:

где M = 1/log_ab (модуль перевода).

Известна также следующая зависимость где в правой части логарифмы должны иметь любое, но одинаковое основание.

Модуль перевода натуральных логарифмов в десятичные

Модуль перевода десятичных логарифмов в натуральные

Десятичный логарифм числа состоит из целой части (характеристики) и дробной части (мантиссы). Характеристика числа, большего единицы, на единицу, меньше числа его цифр, стоящих левее запятой; характеристика числа, меньшего единицы, отрицательна и равна по модулю числу нулей, стоящих левее первой значащей цифры, включая нуль целых. Например, характеристика числа 37,5 равна 1, а числа 0,015 равна 2.

Знак минус ставится над характеристикой, т. к. мантисса остается положительной. Такую «неполную» форму отрицательного логарифма можно превратить в «полную».

Для этого абсолютную величину характеристики неполного логарифма уменьшают на единицу, а цифры мантиссы дополняют до девяти, кроме последней. Последняя значащая цифра (не нуль) дополняется до 10; нули в конце остаются на своих местах.

Пример:

Решение уравнений:

Свойства корней квадратного уравнения:

Кубическое уравнение:

после деления и введения вместо x новой переменной у = х + b/3а, получим

где

Число действительных решений зависит от знака дискриминанта D = q² – р³ при D > 0 имеет один действительный корень и два мнимых;

при D < 0 - три действительных корня; .

при D = 0 - одно решение (при р = q = 0 три совпадающих нулевых корня) и два решения при p³ = - q² ≠ 0 (при трех действительных корнях два совпадают).

Решение кубических уравнений:

1-й способ - разложение (если удается) левой части на множители