На каждый день | Приближенное представление функций
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Идея этого метода заключается в том, что заданная функция f(x) аппроксимируется функцией F(x, α, β,...), у которой параметры α, β,... подбираются так, чтобы интеграл
получил минимальное значение. Это приводит к таким уравнениям для определения коэффициентов α, β,
Можно указать на соответствие между методами аппроксимации функций и методами строительной механики. Аппроксимации по методу функций, наименее уклоняющихся от нуля, соответствует расчет брусьев по предельному состоянию (выравнивание моментов); методу наименьших квадратов - расчет по началу наименьшей работы; методу интерполяции — способ превращения многопролетной статически неопределимой балки в статически определимую введением дополнительных шарниров (фиксирование точек с нулевыми моментами1)- Различные методы аппроксимации дают различную точность.
ПРИМЕР. Дана функция f(x)=sin x. Требуется представить ее приближенно в интервале (0, π) посредством полинома
Разлагая sin x в ряд Маклорена и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получаем приближенно
Подбираем α и β так, чтобы кривая у=αх-βх3 имела с кривой y=sin x общие точки
Найдя α и β и подставив в искомую функцию, получим F(x)=0,846x-0,0866x3.
Подбираем α и β по методу наименьших квадратов:
Вычислив интегралы и найдя α и β, получим
На рис. 1 показаны синусоида и все три приближенные кривые. Нетрудно убедиться, что разложение по Маклорену очень точно аппроксимирует функцию вблизи одного значения аргумента (в данном случае — начал координат), но по мере удаления от этого значения быстро теряет в точности. Что же касается интерполяционного метода и метода наименьших квадратов, то они дают хорошую аппроксимацию во всем интервале разложения; по методу наименьших квадратов получаются кривые, которые приближаются лучше, чем по методу интерполяции, но зато вычисления получаются несколько сложнее.
Рисунок 1.
Вернуться к списку
|
Распечатать
|
