На каждый день | Дифференциальные уравнения

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Во многих приложениях приходится иметь дело с дифференциальным уравнением, которое в случае двух независимых переменных имеет вид

где А, В, С - функции от x и у. Особенно важен случай, когда f линейно относительно ω, ∂ω/∂x, ∂ω/∂y; в этом случае уравнение называется линейным.

Характеристиками уравнения называются интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения

Могут иметь место три случая:

В2-АС>0 - уравнение имеет два семейства действительных характеристик и называется уравнением гиперболического типа;

В2-АС-0 - уравнение имеет одно семейство действительных характеристик и называется уравнением параболического типа;

В2-АС<0 - уравнение не имеет действительных характеристик и называется уравнением эллиптического типа.

Если общие интегралы дифференциального уравнения характеристик имеют вид φ(х, у)=u, ψ(x, y)=v, то, приняв u и v за новые независимые переменные, можно привести уравнение к каноническому виду:

для уравнения гиперболического типа

для уравнения параболического типа

для уравнения эллиптического типа

здесь

Особенно часто встречаются следующие частные случаи рассматриваемого здесь дифференциального уравнения второго порядка:

уравнение распространения колебаний в однородной среде

уравнение распространения колебаний в однородной среде

уравнение теплопроводности

уравнение теплопроводности

уравнение распространения электрического тока по проводу

уравнение распространения электрического тока по проводу

уравнение теории потенциала

уравнение теории потенциала

(уравнение Пуассона). При ρ=0 это уравнение называется уравнением Лапласа, или гармоническим уравнением.

Часто приходится встречаться также с уравнениями более высоких порядков:

уравнение поперечных колебаний балки

уравнение поперечных колебаний балки

где q(x) - масса балки на единицу длины; I(х) - момент инерции поперечного сечения балки;

уравнение изгиба пластинок

уравнение изгиба пластинок

где q(x, у) - поверхностная нагрузка; D - цилиндрическая жесткость пластинки.

Уравнение плоской задачи теории упругости (бигармоническое уравнение)

Уравнение плоской задачи теории упругости

Определяемая дифференциальным уравнением математической физики функция ω должна удовлетворять заданным условиям на границе области интегрирования Ω и в начальный момент времени; эти условия называются граничными и начальными условиями; им должно удовлетворять решение уравнения. Наиболее часто встречаются следующие начальные и граничные условия:

в начальный момент времени t=0 даны значения искомой функции ω(x, t) и ее производной по t:

на границе области Ω[x=x(s), y=y(s)] задана искомая функция ω(x, у):

или производная искомой функции по направлению нормали к границе:

При интегрировании линейных уравнений применяются следующие приемы.

Meтод Фурье (метод разделения переменных) используется для решения линейных уравнений всех трех вышеуказанных типов. Изложим его, обратившись к задаче о свободных колебаниях закрепленной на концах струны. Полагая, что струна расположена на оси X, имеем для прогиба струны ω(x, t) (t - время) уравнение гиперболического типа:

Нужно найти решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям ω(0, t)=ω(l, t)=0 (х=0, х=l - концевые точки струны) и начальным условиям где f(x), φ(х) - заданные функции. Метод Фурье состоит в следующем. Ищется частное решение уравнения колебаний в виде ω=X(x)T(t). При подстановке этого выражения в указанное уравнение переменные разделяются, т. е. приходим к уравнению

где с - постоянная. Нетривиальное решение, удовлетворяющее граничным условиям, получается лишь при с=-k2(k≠0). Тогда

Отсюда

Из граничных условий следует A1=0, k= (n= 1, 2, ...). Таким образом, получается частное решение уравнения колебаний

удовлетворяющее при любых значениях констант аn, bn граничным условиям. Поскольку уравнение колебаний линейно и однородно, его решением будет также ряд

(при условии, что его можно два раза почленно дифференцировать). Коэффициенты аn, bn находятся из начальных условий. Из них следует, что должны быть коэффициентами Фурье (см. 1.20.1) соответственно для функций f(x), φ(x) при их разложении в ряды по синусам, т. е.

Метод Римана применяется для решения следующей задачи. Дано линейное уравнение гиперболического типа:

и задана линия l уравнением y=f(x), причем f′(x)≠0. Ищется решение u указанного уравнения такое, что величины u, принимают на линии l заданные значения. Метод состоит в том, что определение значения искомой функции u в произвольной точке М(х0, y0) сводится к отысканию вспомогательной функции v(x, у, x0, у0) (функции Римана), которая должна удовлетворять уравнению

и условиям

Если функция v найдена, то

Здесь - дуга линии l, причем ордината точки А равна y0, а абсцисса точки В равна x0.

В частном случае, когда, а=b=с=0, функция Римана v=1, а в случае, когда, а=b=0, с=const, имеем

где J0 - функция Бесселя (см. 1.14.4).

Метод Грина. Пусть требуется найти функцию u, которая внутри области D, ограниченной замкнутой линией С, удовлетворяет уравнению эллиптического типа:

а на контуре С принимает заданные значения. Для решения этой задачи ищется функция Грина G(x, у, х0, y0), удовлетворяющая «сопряженному» уравнению

и имеющая вид

Здесь (х0, y0) - произвольная внутренняя точка области D; U(х, у), V(x, у) - функции непрерывные вместе со своими первыми и вторыми частными производными в области D, причем

Кроме того, функция G(x, у, x0, y0) должна равняться нулю на контуре С. Если такая функция найдена, то значение искомой функции и в точке (x0, y0) определяется по формуле

где dG/dn - производная функции G по направлению внутренней нормали к контуру С.

Поделитесь ссылкой в социальных сетях