На каждый день | Аналитическая геометрия

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

Всякая прямая на плоскости выражается уравнением первой степени относительно координат; обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными выражает на плоскости прямую линию. Общее уравнение прямой; Ах+Ву+С=0, где хотя бы один из коэффициентов А, В отличен от нуля.

Частные случаи общего уравнения в зависимости от тех геометрических элементов, которыми прямая задана:

1) уравнение прямой с угловым коэффициентом (если прямая не параллельна оси у): y = kx+b, где k=tg α; α - угол наклона прямой к оси х (0<α<π); b - ордината точки пересечения прямой с осью У; частным случаем k=0 является уравнение прямой, параллельной оси X: у=b;

2) уравнение прямой, параллельной оси У: х=а;

3) уравнение прямой по точке и направлению

4) уравнение прямой по двум точкам:

где х₂=х₁, у₂=у₂,

5) уравнение прямой в отрезках:

в) нормальное уравнение прямой:

где р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую: φ - угол между этим перпендикуляром и осью х; 0≤φ2π.

Общее уравнение прямой может быть приведено к нормальному виду умножением на нормирующий множитель:

причем знак перед корнем должен быть противоположен знаку С.

Расстояние точки (х₁, у₁) от прямой Ах+Ву+С=0;

Угол между двумя прямыми определяется из равенств

Признак параллельности прямых: k₁=k₂ либо A₁/A₂=B₁/B₂ признак перпендикулярности прямых: k₁, k₂ = -1 либо , A₁A₂+B₁B₂=0.

Точка пересечения двух прямых отыскивается в результате совместного решения их уравнений; возможны следующие три случая:

A₁/A₂≠B₁/B₂ - существует единственная общая точка, прямые пересекаются;

A₁/A₂=B₁/B₂≠C₁/C₂ - общих точек нет, прямые параллельны;

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂ - общих точек бесчисленное множество, прямые совпадают.

Условие расположения трех точек на одной прямой в соответствии с формулой для площади треугольника по координатам его вершин:

Условие прохождения трех прямых через одну точку:

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях