На каждый день | Динамика системы

КОЛИЧЕСТВОМ ДВИЖЕНИЯ материальной точки массой m, движущейся со скоростью , называется вектор (рис. 1). Количеством движения i-й точки системы называется вектор .

Рисунок 1.

Количество движения механической системы есть сумма векторов количеств движения ее точек:

где М - масса всей системы; v_c - скорость центра масс системы.

Количество движения системы в ее движении относительно центра масс равно нулю.

Проекция вектора количества движения на оси декартовых координат:

ИМПУЛЬС СИЛЫ. Элементарным импульсом силы называется величина

Импульсом силы за конечный промежуток времени ?t=t₂-t₁ называется вектор

Импульс суммы сил равен геометрической сумме импульсов каждой из сил в отдельности.

Проекции импульса сил на оси декартовых координат:

МОМЕНТОМ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ точки А относительно некоторого центра О называется вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора точки А на вектор ее количества движения (рис. 1):

МОМЕНТОМ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ относительно центра О называется сумма векторов моментов количества движения всех точек системы относительно того же центра:

Проекции вектора момента количества движения на оси декартовых координат (моменты количества движения относительно осей декартовых координат):

КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИЕЙ ТОЧКИ называется скалярная величина:

КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИЕЙ СИСТЕМЫ называется сумма кинетических энергий ее точек:

где М - масса всей системы; v_c - скорость центра масс системы; v_r1 - скорость i-й точки системы в движении относительно центра масс системы.

Кинетическая энергия твердого тела:

где М - масса тела; v_c - скорость его центра масс; ω - угловая скорость тела; I_с - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс тела С (см. "Теория моментов инерции").

Кинетическая энергия тела в частных случаях:

при поступательном движении

при вращении вокруг оси z

РАБОТА. Элементарной работой δА силы на бесконечно малом перемещении точки ее приложения называется скалярное произведение векторов и :

Здесь знак δ следует понимать как обозначение бесконечно малой величины, а не как знак полного дифференциала, так как работа в общем случае не является полным дифференциалом.

Элементарная работа в координатной форме:

где X, Y, Z - проекции силы на оси декартовых координат; х, у, z - координаты точки приложения силы; dx, dy, dz - проекции элементарного перемещения точки приложения силы на оси декартовых координат.

Элементарная работа силы в естественной форме:

где ?ds?- элементарное перемещение точки вдоль траектории; α - угол между силой и элементарным перемещением ds.

Элементарная работа силы , приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси u:

Элементарная работа мотора сил на моторе элементарных перемещений :

или в координатной форме:

где - элементарный угол поворота, представленный в виде вектора, отложенного вдоль оси поворота; dα, dβ, dγ - элементарные углы поворота вокруг осей координат х, у, z (или проекции вектора на оси координат).

Элементарная работа, выраженная через обобщенные координаты системы. Если положение точек системы можно полностью определить посредством некоторого числа k независимых параметров q₁, q₂, …, q_k, то эти параметры называются обобщенными координатами системы. Перемещения всех точек системы определяются как функции элементарных приращений обобщенных координат системы dq, и элементарная работа сил получает вид:

Коэффициенты Q при приращениях обобщенных координат носят название обобщенных сил системы.

Работа силы Р на конечном перемещении точки ее приложения выражается криволинейным интегралом, взятым по перемещению MN:

Работа суммы сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности.

Графически работа изображается площадью графика P cos α=f(s) (рис. 2).

Рисунок 2.

Работа некоторых видов сил:

1) сила тяжести (рис. 3, а) производит работу только на вертикальной составляющей перемещения:

2) сила всемирного тяготения (рис. 3,б) (r - расстояние между центрами тяготеющих масс) производит работу при изменении расстояния r между тяготеющими массами:

3) реакция упругой связи P_упр=-сλ, пропорциональная перемещению λ точки приложения и направленная в сторону, противоположную перемещению, производит работу:

4) работа силы трения всегда отрицательна:

5) работа реакций идеальных связей на любом перемещении, допускаемом связями, равна нулю;

6) внутренние силы производят работу на взаимном сближении или удалении точек системы (рис. 3, в):

где х - расстояние между точками системы.

Рисунок 3.

ОСОБЕННОСТЬ РАБОТЫ СИЛ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ. Силовым полем называется область пространства, в которой проявляется действие силы. Потенциальным называется такое силовое поле, в котором сила есть функция положения точки, причем имеется функция положения точки координат U=U(х, у, z), называемая потенциалом и связанная c проекциями действующей силы зависимостью:

В потенциальном силовом поле можно выделить эквипотенциальные поверхности, в точках которых U=const.

Свойства потенциального силового поля:

1) элементарная работа силы равна полному дифференциалу функции U:

2) работа силы на конечном перемещении зависит только от разности потенциалов начальной U₁ и конечной U₂ точек:

3) работа силы на перемещении между двумя точками эквипотенциальной поверхности, а также на замкнутом перемещении равна нулю;

4) в потенциальном силовом поле справедлив закон сохранения механической энергии: сумма потенциальной П и кинетической Т энергии точки есть величина постоянная:

Потенциальной энергией П называется работа, совершаемая силой при переходе тела из данной точки с потенциалом U на поверхность, условно принятую за поверхность нулевого потенциала U₀:

Из числа рассмотренных выше сил потенциальным силовым полем обладает сила тяжести (U=-mgz), сила тяготения (U=k/r), реакция упругой связи