На каждый день | Ряды Фурье

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ФУРЬЕ

Одним из видов функциональных рядов является тригонометрический ряд

Ставится задача подобрать коэффициенты ряда так, чтобы он сходился к заданной в интервале [-π, π] функции; иначе говоря, требуется разложить данную функцию в тригонометрический ряд. Достаточное условие разрешимости этой задачи состоит в том, чтобы функция была в интервале [-π, π] кусочно-непрерывна и кусочно-дифференцируема, т. е. чтобы интервал [-π, π] мог быть разбит на конечное число частичных интервалов, в каждом из которых данная функция непрерывна и имеет производную (на концах частичных интервалов функция должна иметь конечные односторонние пределы и односторонние производные, при вычислении которых в качестве значения функции в конце частичного интервала берется ее односторонний предел). Условие кусочной дифференцируемости может быть заменено условием кусочной монотонности функции, т. е. требованием, чтобы в каждом из частичных интервалов функция была монотонна. Достаточным условием разложимости функции в интервале [-π, π] в тригонометрический ряд является также требование, чтобы в этом интервале функция имела ограниченное изменение. По определению функции f(x) имеет в интервале [a, b] ограниченное изменение, если при любом разбиении этого интервала на конечное число интервалов

величина

ограничена сверху одним и тем же числом.

Именно с такими функциями приходится иметь дело при решении практических задач.

При выполнении любого из трех указанных достаточных условий функция f(x) представляется в интервале [-π, π] тригонометрическим рядом, у которого коэффициенты определяются по формулам

При таких коэффициентах тригонометрический ряд называется рядом Фурье. Этот ряд сходится к f(x) в каждой точке ее непрерывности; в точках разрыва он сходится к среднему арифметическому левого и правого предельных значений, т. е. k , если х есть точка разрыва (рис. 1); на границах отрезка ряд сходится к .

ряд Фурье

Рисунок 1.

Функция, выражаемая рядом Фурье, есть функция периодическая, а потому ряд, составленный для функции, заданной на отрезке [-π, π], сходится вне этого отрезка к периодическому продолжению этой функции (рис. 2).

Функция, выражаемая рядом Фурье

Рисунок 2.

Если рядом Фурье представляется функция f(x), заданная в произвольном интервале [α, α+2π] длиной 2π, то коэффициенты ряда а₀, a_k, b_k (коэффициенты Фурье) можно определить по указанным формулам, в которых пределы интегрирования заменены на α и α+2π. Вообще, поскольку в формулах для а₀, a_k, b_к стоят функции с периодом 2π, интегрирование можно проводить по любому интервалу с длиной 2π.

Ряд Фурье может быть использован для приближенного представления функции, а именно: функция f(x) заменяется приближенно равной ей суммой s_n(x) первых нескольких членов ряда Фурье:

Выражение s_n(x), где а₀, a_k, b_k являются коэффициентами Фурье функции f(x), по сравнению с другими выражениями такого же вида с тем же значением n, но с другими коэффициентами, приводит к минимальному среднему квадратичному отклонению s_n(x) от f(х), которое определяется как

В зависимости от рода симметрии функции возможны некоторые упрощения. Если функция четная, т. е. f(-x)=f(x), то

и функция разлагается в ряд по косинусам. Если функция нечетная, т. е. f(-х)=-f(x), то

и функция разлагается в ряд по синусам. Если функция удовлетворяет условию f(x+π)=-f(x), т. е. кривая, относящаяся к половине отрезка длиной 2π, является зеркальным отражением другой половины кривой, то

Функция может быть задана не только на отрезке длиной 2π, но также на отрезке любой длины 2l. Если она на этом отрезке удовлетворяет приведенным выше условиям, то она разложима в ряд Фурье следующего вида:

причем коэффициенты ряда вычисляются по формулам

В табл. 1 даны разложения некоторых функций.

Таблица 1.

Тригонометрический ряд можно записать и в таком виде:

где

Ряд Фурье функции f(x) сходится тем скорее, чем более гладкой является функция. Если функция f(x) и ее производные f'(x), f"(x), ..., f^k^-1(x) всюду непрерывны, а f⁽^k⁾(x) допускает лишь точки разрыва 1-го рода в конечном числе, то коэффициенты Фурье а_n, b_nфункции f(х) будут

Символом обозначается такая величина, что

Разложение в тригонометрический ряд называют гармоническим анализом, а тригонометрические функции, входящие в этот ряд, - гармониками. Вычисление по составляющим гармоникам называется гармоническим синтезом.

При расчетах конструкций часто приходится разлагать в ряд Фурье различные функции, заданные графиками, и прежде всего изображающие нагрузку. В табл. 2 и 3 даны разложения для некоторых функций, характерных для нагрузок, в том числе и ряды, соответствующие сосредоточенным силам.