На каждый день | Ряды Фурье

ПРИБЛИЖЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Формулы Чебышева. Во многих случаях (например, если вычисление коэффициентов разложения представляет трудности, если функции заданы графически или в табличной форме) применяют другие приемы разложения в тригонометрический ряд. Один из них заключается в замене интегралов суммами.

Пусть период 2π разделен на m равных частей точками

и значения функции f(x_k)=f_k заданы или могут быть измерены. Тогда для вычисления коэффициентов суммы

содержащей 2n коэффициентов, при m=2n можно пользоваться следующими формулами:

(формулы Чебышева - Бесселя).

Формулы по методу наименьших квадратов. При m>2n, т. е. когда число измерений превышает число коэффициентов, следующие формулы дают наилучшее приближение по методу наименьших квадратов:

Если ограничиться первыми тремя гармониками и если не требуется большая точность, можно вычислить коэффициенты разложения по следующей схеме:

где

Для вычисления b₂ разделим период 2π не на 12 частей, как для вычисления других коэффициентов, а на 8 равных частей, допуская, что соответствующие значения

можно снять с графика; тогда

ПРИМЕР 1. Найти приближенную формулу для тригонометрического ряда, представляющего наблюдения, приведенные в табл. 1.

Таблица 1.

Пользуясь приведенными выше формулами, находим

Построив график функции f(x) и сняв с него ординаты f₁, f₃, f₅, f₇, получим 4b₂= f₁-f₃+f₅-f₇=2,36, откуда b₂=0,59 (приближенно).

Таким образом, приближенная формула для искомого ряда Фурье будет

Гармонический анализ и синтез можно производить посредством приборов (гармонических анализаторов и синтезаторов).

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях