На каждый день | Тригонометрия

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Каждому углу соответствует шесть чисел, рассматриваемых как отношения отрезков, связанных с углом (рис. 1) и определяемых следующим образом:

Этим числам присваивается знак, как указано в табл. 1.

Таблица 1.

Конец дуги	sin α	cos α	tg α	ctg α	sec α	cosec α
I четверть	+	+	+	+	+	+
II четверть	+	-	-	-	-	+
III четверть	-	-	+	+	-	-
IV четверть	-	+	-	-	+	-

Рисунок 1.

С изменением угла изменяются значения рассматриваемых отношений, так что эти отношения являются функциями угла; графики этих функций даны на рис. 2 и 3. В табл. 2 приведены значения тригонометрических функций для некоторых значений аргумента.

график функций

Рисунок 2.

график функций

Рисунок 3.

Таблица 2.

Угол в град	0	90	180	270	360	30	45	60
Угол в рад	0,0000
sin α	0	+1	0	-1	0
cos α	+1	0	-1	0	+1
tg α	0	±∞*	0	±∞*	0		1
ctg α	*	0	±∞*	0			1
* Знак ±∞ означает, что tg α (или ctg α) стремится к ∞ при стремлении угла к соответствующему значению, указанному в таблице; верхний знак относится к углам, меньшим рассматриваемого, нижний знак – к углам, большим рассматриваемого.

Тригонометрические функции - функции периодические; период синуса и косинуса равен 2π, период тангенса и котангенса равен π:

m - целое число.

Значения тригонометрических функций углов от 0 до 90° и углов в радианной мере в табл. 2. Тригонометрические функции углов, больших 90°, а также отрицательных равны соответственно взятым функциям острых углов согласно формулам приведения (табл. 3).

Таблица 3.

φ	-α	90° ± α	180^o± α	270°± α	360°-α
sin φ	-sin α	+cos α	sin α	-cos α	-sin α
cos φ	+cos α	sin α	-cos α	±sin α	+cos α
tg φ	-tg α	ctg α	± tg α	ctg α	-tg α
ctg φ	-ctg α	tg α	± ctg α	tg α	-ctg α

Между тригонометрическими функциями любого угла существует пять основных соотношений:

Из этих соотношений выводятся дополнительные соотношения:

При операциях над тригонометрическими функциями находят применение формулы, данные в табл. 3 – 4.

Таблица 4.

Тригонометрические функции	Обратные тригонометрические функции	Область изменения х и у
х = sin у	y = arcsin х
х = cos у	y = arccos x
x = tg y	y = arctg x
x = сtg y	y = arcctg x