На каждый день | Алгебра

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Действительные корни уравнения f(x)=0 (как алгебраического, так и трансцендентного) можно приближенно найти графически или посредством отделения корней. Для графического решения уравнения f(x)=0 строят график функции у=f(x); абсциссы точек пересечения и точек касания графика с осью абсцисс являются корнями уравнения. Метод отделения корней состоит в том, что находят таких два числа a и b, при которых функция f(x), предполагаемая непрерывной, имеет различные знаки - в этом случае между а и b заключен, по крайней мере, один корень; если производная f'(x) сохраняет знак в интервале от а до b, значит, f(x) - монотонная функция, то этот корень единственный (рис. 1).

Рисунок 1.

Более совершенными приемами, позволяющими найти корень с любой точностью, являются следующие. Пусть найдены такие два значения аргумента х=а, x=b (а

По способу хорд: значение корня х₁ уравнения f(х) = 0 в интервале [а, b] в первом приближении находится по формуле

Затем выбирается тот из интервалов [a, х₁], [x₁, b], на концах которого значения f(x) имеют различные знаки и находится корень х₂ во втором приближении по той же формуле, но с заменой числа х₁ на х₂, а числа b или а на x₁ (в зависимости от того, взят ли интервал [a, x₁] или [х₁, b]). Аналогично находятся последующие приближения (рис. 2).

Рисунок 2.

По способу касательных (или способу Ньютона) рассматривают тот из концов интервала [а, b], где f(x) и f''(х) имеют одинаковые знаки (рис. 3).

Рисунок 3.

В зависимости от того, выполняется ли это условие на конце х=а или на конце х=b, значение корня x₁ в первом приближении определяется по одной из формул

Затем рассматривается интервал [x₁, b] (если была использована первая из указанных формул) или [a, x₁] (если была использована вторая формула) и аналогичным путем находится значение корня x₂ по второму приближению и т. д.

Совместное применение способа хорд и способа касательных заключается в следующем. Устанавливают, на каком конце интервала [а, b] величины f(x) и f"(x) имеют одинаковые знаки. Для этого конца интервала применяют соответственно одну из формул способа касательных, получая значение x₁. Применяя для одного из интервалов [a, x₁], [x₁, b] формулу по способу хорд, получают значение x₂. Затем таким же образом проводят вычисления для интервала [x₁, x₂] и т. д.

Пример 1: y=f(х)=х³+2х-6=0. Путем проб находим 1,4<х< 1,5. Определяем корень по способу хорд: a=1,4; f(a)=-0,456; b=1,5; f(b)=0,375.
Первое приближение:

Повторяем операцию, заменяя значения а, f(a) на x₁=1,455; f(x₁)=-0,010.

Второе приближение:

Пример 2: x-1,5 cos x=0. Первое приближение находим с помощью табл. 1.35: если задаться x₁=0,92, то cos x₁=0,60582 и 0,92≈1,5?0,61. Уточняем корень по способу касательных: y'=1+1,5 sin x; y''=1,5 cos x. По той же таблице имеем:

Окончательно

К приближенным приемам решения уравнений относится также способ итераций. Он состоит в том, что каким-либо способом уравнение приводится к виду x=φ(x). Найдя приближенно х₁, подставляют найденное значение в правую часть уравнения и находят уточненные приближенные значения x₂=φ(x₁), x₃=φ(x₂) и т.д.; числа х₂, х₃, … приближаются к искомому корню (процесс сходится), если ?φ?(х)?<1.

Пример 3: найти корни уравнения x=tg x по способу итераций.

Для нахождения первых приближений к корням построим графики двух линий – y=x и y=tg x (рис. 4); точки пересечения этих линий дадут значения х, удовлетворяющие заданному уравнению.