На каждый день | Алгебра
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (ДЕТЕРМИНАНТЫ)
Определителем второго порядка называется выражение D, образованное из четырех величин (элементов), расположенных в квадратную таблицу, и определяемое по формуле
Определителем n-го порядка называется выражение D, образованное из n2 величин (элементов), расположенных в квадратную таблицу
и определяемое следующим образом: D равно алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n элементов определителя, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца; произведение берется со знаком плюс или минус в зависимости от того, четно или нечетно число инверсий в перестановке из вторых индексов перемножаемых элементов, если первые индексы расположены в возрастающем порядке (в перестановке числа i и ј составляют инверсию, если i<ј, но i стоит в этой перестановке после i). Например, для определителя третьего порядка
число слагаемых равно 3!, т. е. 6; первые индексы следуют в порядке 1, 2, 3; во вторых индексах имеется шесть перестановок; в первом слагаемом нет инверсий, во втором есть одна инверсия (32), в третьем - две инверсии (21 и 31) и т. д.
Свойства определителей:
1) при замене строк столбцами величина определителя не меняется;
2) при перестановке двух столбцов или строк определитель меняет знак;
3) определитель с двумя одинаковыми столбцами (или строками) равен нулю;
4) множитель, общий для элементов некоторого столбца или строки, можно вынести за знак определителя;
5) величина определителя не изменится, если к элементам некоторого столбца или строки прибавить элементы параллельного столбца или строки, предварительно умножив эти последние на один и тот же произвольный множитель l.
Вычисление определителя можно свести к вычислению определителей порядка на единицу ниже. Назовем минором элемента аik определитель, получаемый вычеркиванием i-й строки и k-гo столбца данного определителя. Назовем адъюнктой (или алгебраическим дополнением) элемента аik его минор, умноженный на (-1)i+k; обозначим адъюнкту элемента aik через Aik. Тогда справедливы равенства:
т. е. определитель равен сумме произведении элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Эти равенства называются разложениями определителя соответственно по элементам i-й строки и k-го столбца.
Пример 1:
Вычисление определителя n-го порядка требует вычисления n определителей порядка n - 1. Можно, однако, пользуясь свойствами определителей, свести задачу к вычислению лишь одного определителя порядка n - 1; с этой целью преобразуют данный определитель так, что бы в какой-либо строке (или столбце) обратились в ноль все элементы, кроме одного.
Пример 2:
.
Обратим в ноли элементы второго столбца, для чего умножим элементы первой строки на 2 и прибавим их ко второй строке; затем умножим элементы первой строки на -1,5 и прибавим их к четвертой строке (от этих операций определитель не изменит своей величины):
.
Теперь разложим определитель по элементам второго столбца:
остается вычислить определитель третьего порядка.
В теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами находит применение следующий определитель, называемый определителем Вандермонда и вычисляемый по формуле
Необходимым и достаточным условием неравенства этого определителя нулю является отсутствие одинаковых чисел в последовательности x1, x2, .., хn.
Вернуться к списку
|
Распечатать
|
