На каждый день | Дифференциальное исчисление

ФУНКЦИЯ, ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Если каждому рассматриваемому значению одной переменной соответствует определенное значение другой переменной, то вторая переменная есть функция первой. Совокупность рассматриваемых значений аргумента называется областью определения (или областью существования) функции.

Если существует такое число А, от которого функция отличается сколь угодно мало в достаточно малой окрестности точки а, т. е. если ?f(х)-A?<ε при всех значениях х≠а, для которых ?х-а?<δ, где ε - как угодно малое произвольное положительное число, а δ - положительное число, зависящее от ε, то говорят, что функция имеет в точке а предел, равный A; обозначение: (x)-A. Понятие предела вводится и для случая, когда ?f(x)-A?<ε при достаточно больших по абсолютной величине значениях аргумента; обозначение: (х)=А и (х)=А. К этому случаю относится понятие предела последовательности, т. е. функции, определенной лишь для натуральных значений аргумента. Функция, которая стремится к пределу, равному нулю, называется бесконечно малой.

При вычислении пределов применяются теоремы о пределах.

1. Предел постоянной величины: lim a=a.

2. Предел алгебраической суммы нескольких функций u(х), v(x),..., ω(x), каждая из которых имеет предел в точке а:

3. Предел произведения нескольких функций, каждая из которых имеет предел в точке а:

4. Предел отношения двух функций, каждая из которых имеет предел в точке a, причем предел знаменателя отличен от нуля:

5. Если f₁ (х) ≤u≤f₂ (х) и f_x (x) - f₂ (х) = А, то

Некоторые пределы:

Предел, к которому стремится функция, когда х стремится к а, принимая только значения, меньшие (большие) а, называется левым (правым) пределом функции в точке а.

Если для любого положительного числа М существует такое положительное число δ, что при всех значениях х≠а, для которых ?х-а?<δ, выполняется условие ?f(x)?>M, то говорят, что функция f(x) стремится к бесконечному пределу при х→а; обозначение f(х)=∞.

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и если f(x)=f(a), т. е. если значение функции в точке а является пределом функции, когда х стремится к а. Из этого определения следует, что если функция непрерывна, то бесконечно малому приращению аргумента ?х соответствует бесконечно малое приращение функции ?y: ?y=0. Элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они существуют. Точки, в которых функция не является непрерывной, носит название точек разрыва.

Если в точке а функция имеет конечные, но различные левый и правый пределы, или если эти пределы одинаковые, но в точке а функция не определена или имеет значение, отличное от указанных пределов, то точка а называется точкой разрыва первого рода. Все прочие точки разрыва называются точками разрыва второго рода. К ним, в частности, относятся точки, в которых функция имеет бесконечный левый или правый предел. На рис. 1 показана функция, имеющая две точки разрыва а и с первого рода (в точке с функция не определена) и точку разрыва b второго рода (в этой точке левый и правые пределы функции бесконечны).

Рисунок 1.

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях