На каждый день | Дифференциальное исчисление

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Производной функции γ=f(x) называется функция f'(x), равная пределу отношения приращения функции f(x) к приращению аргумента, когда последнее произвольным образом стремится к нулю:

где ?х - приращение аргумента х.

Производная функция у обозначается также через у' и

Если функция γ=f(x) изображается кривой в декартовых координатах, то γ' при рассматриваемом значении аргумента выражает угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, т. е. γ'=tg α, где α - угол наклона касательной к оси X. Производная имеет не только геометрическое толкование, она выражает скорость изменения функции относительно аргумента, например скорость движения, интенсивность нагрузки, силу тока, теплоемкость и т. п.

Если функция имеет в рассматриваемой точке производную, то она в этой точке непрерывна; таким образом, непрерывность является необходимым условием существования производной, но это условие не является достаточным, так как непрерывность не гарантирует существования производной.

Общие правила дифференцирования (а - константа, u и v - функции от х) см. в табл. 1.

Таблица 1.

Производные основных элементарных функций приведены в табл. 2.

Таблица 2.

Пусть в окрестности фиксированной точки х при переходе от этой точки к любой другой точке х+?х приращение ?у функции у(х) можно представить в виде ?y-A?x+α?x, где А - постоянное (соответствующее фиксированному значению х), а α - бесконечно малая величина при ?х→0; тогда величина А?х называется дифференциалом функции у в точке х.

Дифференциал функции есть главная часть ее приращения, пропорциональная приращению независимого переменного.

Если функция у(х) имеет в данной точке х дифференциал, то она имеет в этой точке производную у' и наоборот, причем А=у'. Дифференциал независимого переменного х равен по определению приращению ?х. Дифференциалы величин у и х обозначаются через dy и dx. Дифференциал функции выражается формулой dy=y'dx.

Дифференциал dy эквивалентен приращению функции ?у, т. е.

поэтому при малых приращениях ?х можно пользоваться приближенным равенством dy≈?y.

Производная от производной называется второй производной от данной функции; вообще производной порядка n называется производная от производной порядка n-1; обозначения: у", у"',..., у⁽ⁿ⁾ либо

Аналогично определяются дифференциалы высших порядков; обозначения: d²y, d³y,..., dⁿy. Формула для дифференциала порядка n: dⁿ y=y⁽ⁿ⁾ dxⁿ. В табл. 3 приведены производные порядка n для некоторых функций, а также для произведения двух функций.

Таблица 3.

В последней формуле табл. 3 правая часть получается, если разложить (u+v)ⁿ по правилу бинома Ньютона и заменить степени производными соответствующих порядков, причем u⁽⁰⁾=u, v⁽⁰⁾=v.

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях