На каждый день | Дифференциальная геометрия

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ

Кривая в пространстве может быть задана как пересечение двух поверхностей F₁(x, у, z)=0, F₂(x, у, z)=0 или в параметрическом виде тремя уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t) (t - параметр). Кривая может быть определена также одним векторным уравнением

где радиус-вектор произвольной точки кривой; , , - единичные векторы в направлении осей X, У, Z.

Дифференциал длины дуги ds и длина дуги s определяются по формулам

(фиксированное значение t=t₀ соответствует начальной точке дуги; конечной точке дуги соответствует произвольное значение t).

Если параметром является длина дуги s, т. е. если x=x(s), y=y(s), z=z(s), то для углов α, β, γ между касательной к кривой в точке (х, у, z) и осями координат X, Y, Z имеют место соотношения cos α=dx/ds, cos β=dy/ds, cos γ=dz/ds.

Плоскость, проходящая через точку М пространственной линии и перпендикулярная касательной в точке М, называется нормальной плоскостью. Плоскость, проведенная через три точки кривой М, М₁, М₂, при M₁ и М₂→М стремится принять положение плоскости, которая называется соприкасающейся плоскостью к кривой в точке М. Плоскость проходящая через точку М и перпендикулярная нормальной и соприкасающейся плоскостям, называется спрямляющей плоскостью.

Три указанные плоскости образуют так называемый сопровождающий трехгранник пространственной линии (рис. 1). Его элементы даны в табл. 1.

Рисунок 1.

Таблица 1.

В этой таблице х, у, z - координаты вершины М трехгранника; X,Y,Z - текущие координаты элемента трехгранника;

производные берутся по параметру t и вычисляются при значении t, соответствующем точке М (х, у, z).

Нормаль к кривой, лежащая в соприкасающейся плоскости (линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей), называется главной нормалью. Нормаль, лежащая в спрямляющей плоскости (линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей), называется бинормалью.

Единичный вектор касательной определяется равенством

Кривизной пространственной линии в точке М называется величина

где ? - приращение вектора при переходе от точки М к точке M₁.

Кривизну можно определить по формуле

Радиус кривизны R определяется как величина, обратная К, R = 1/K. Точка С, лежащая на главной нормали к кривой в точке М, для которой CM=R, называется центром кривизны (направление от С к М соответствует вогнутости кривой). Координаты х_с, у_с, z_с центра кривизны, соответствующего точке М (х, у, z) кривой, определяются по формулам

Круг в соприкасающейся плоскости, описанный радиусом R из центра кривизны, называется кругом кривизны, или соприкасающимся кругом.

Кручением кривой в ее точке М называется величина

где - приращение единичного вектора бинормали при переходе от точки М к точке M₁ (знак минус берется, если направление вектора совпадает с направлением паралельного ему вектора , а знак плюс - в противоположном случае). Кручение можно определить по формуле

Для плоских кривых T=0.

ПРИМЕР 1. Винтовая линия: x=α cos φ; y=α sin φ; z=с φ, где а - радиус цилиндра; φ - угол поворота прямой; с - коэффициент пропорциональности.

Шаг винта h = 2πc; подъем винта

где α - угол между касательной к кривой и плоскостью XY.

Длина дуги

длина дуги одного витка .

Кривизна в произвольной точке

кручение

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях