На каждый день | Дифференциальная геометрия

ПОВЕРХНОСТИ

Поверхность может быть задана одним уравнением

или

а также в параметрическом виде тремя уравнениями

где α, β - параметры. Эти уравнения можно заменить одним векторным уравнением

где - радиус-вектор точки поверхности.

Линия на поверхности, заданной параметрически, дается этими же уравнениями, если α и β - функции одного параметра. Линии α=const, β=const образуют на поверхности сеть криволинейных координат. Квадрат дифференциала ds длины дуги линии на поверхности можно представить в виде

где

- коэффициенты Гаусса.

Выражение Edα²+2Fdαdβ+Gdβ² называется первой квадратичной формой поверхности.

Если поверхность задана уравнением (I) или (II), то уравнение касательной плоскости соответственно будет

или

Если же поверхность задана уравнениями (III) или уравнением (IV), то уравнение касательной плоскости

где М (х, у, z) - точка касания; X, Y, Z - текущие координаты касательной плоскости.

Уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением (I), имеет вид

Дифференциал площади поверхности dσ определяется по формуле

Пусть поверхность задана уравнением (IV), а , - единичные векторы (орты), касательные к линиям α(β=const), β(α=const) и направленные в стороны возрастания параметров α, β, ( , совпадают по направлению с векторами , ). Обозначим через единичный вектор нормали к поверхности, направленный в каждой ее точке так, что орты , , образуют правую систему.

Рассмотрим какую-либо линию L₁, проведенную на поверхности через ее точку M₁. Пусть К - кривизна линии в точке M₁, а - единичный вектор главной нормали к этой линии в точке М₁ направленный в сторону вогнутости линии. Проекция вектора кривизны Kv на направление вектора в точке М₁ называется нормальной кривизной линии L₁ в точке М₁. Линия на поверхности, у которой в каждой точке нормальная кривизна равна нулю, называется асимптотической линией.

Если через точку М₁ поверхности провести нормальное сечение (плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в точке M₁), то получится плоская линия, у которой в точке M₁ вектор главной нормали совпадает с вектором или противоположен ему. Поэтому кривизна нормального сечения совпадает или отличается только знаком от нормальной кривизны K_n этого сечения. Величина K_n определяется по формуле

где

Выражение Ldα² + 2Mdαdβ+Ndβ² называется второй квадратичной формой поверхности. Знак величины К_n определяется знаком второй квадратичной формы (поскольку первая квадратичная форма равна ds² и, следовательно, положительна).

Центр кривизны наклонного сечения поверхности совпадает с проекцией на его плоскость центра кривизны нормального сечения, имеющего общую касательную с наклонным сечением. Если R - радиус кривизны нормального сечения, то радиус кривизны ρ наклонного сечения можно определить из равенства ρ=RcosX( , ), где - единичный вектор главной нормали линии, образованной наклонным сечением, a - единичный вектор нормали к поверхности ( и берутся в той точке поверхности, через которую проведены оба сечения).

Среди всевозможных нормальных сечений поверхности, проходящих через ее точку М, имеются два сечения, образованных взаимно перпендикулярными плоскостями, для которых К_n принимает наибольшее и наименьшее значения. Эти два сечения называются главными нормальными сечениями, а соответствующие им значения К_n называются главными кривизнами поверхности и обозначаются K₁, К₂. Величины R₁=1/K₁, R₂=1/К₂ называются главными радиусами кривизны поверхности. Величины К₁, К₂ находятся как корни квадратного уравнения

Направления касательных к главным нормальным сечениям поверхности называются главными направлениями на поверхности. Линия на поверхности, в каждой точке которой касательная имеет главное направление, называется линией кривизны. Через каждую точку поверхности проходят две взаимно ортогональные линии кривизны. Поэтому удобно выбирать криволинейные координаты α, β так, чтобы линии α, β были бы линиями кривизны. Величины

называется средней и гауссовой (полной) кривизнами поверхности.

Точка поверхности, в которой K₁ и К₂ имеют одинаковые знаки (К>0) называется эллиптической; в этой точке LN-М²>0. В более частном случае, когда в точке поверхности К₁=К₂, эта точка называется омбилической, а когда K₁=K₂=0 - точкой уплощения. Точка поверхности, в которой K₁ и К₂ имеют разные знаки (К<0), называется гиперболической; в этой точке LN-М²<0. Точка, в которой одна из величин К₁, К₂ равна нулю (К=0), называется параболической: в ней LN-M²=0.

Через каждую точку поверхности в любом направлении проходит геодезическая линия, которая определяется тем, что в каждой ее точке главная нормаль этой линии совпадает с нормалью к поверхности. Геодезическая линия на поверхности обладает свойством прямой линии на плоскости: из всевозможных линий на поверхности, проходящих через две произвольные точки, кратчайшую дугу, соединяющую эти точки, имеет геодезическая линия.

Многие строительные конструкции имеют очертания поверхностей вращения или поверхностей переноса.

Поверхность вращения образуется вращением плоской линии (образующей или меридиана) вокруг оси. Линия пересечения поверхности вращения с плоскостью, перпендикулярной оси вращения, есть окружность, называемая параллелью. Пусть ось вращения принята за координатную ось Z. Если меридиан, расположенный в плоскости XOZ, задан уравнениями х=х(α), z=z(α), где α - длина дуги меридиана, отсчитываемая от выбранной начальной точки, то сама поверхность вращения определяется уравнениями x=R(α) cos β, у=R(α) sin β, z=z(α). В этих уравнениях: R(α)=x(α) - радиус параллели, проходящей через точку М (х, у, z) данной поверхности, а β - угол между плоскостью XOZ и плоскостью, проходящей через ось Z и точку М. Когда поверхность вращения задана указанными уравнениями, имеем

Поверхностью переноса называется поверхность, описываемая линией (производящей), которая перемещается в пространстве, оставаясь параллельной самой себе (два положения линии называются параллельными, если одно из них получается из другого в результате смещения каждой точки линии на один и тот же вектор - вектор переноса). При перемещении производящей любая ее фиксированная точка М₀ вычерчивает линию. Поэтому можно считать, что производящая, перемещаясь в пространстве, опирается своей точкой М₀ на некоторую линию, называемую направляющей.

Пусть

- векторные уравнения соответственно производящей и направляющей поверхности переноса. Тогда уравнение самой поверхности переноса с точностью до постоянного вектора будет

или в другом виде

где х(α, β)=а_x(α)+b_х(β), у(α, β)=а_у(α)+b_у(β); z(α, β)=а_z(α)+b_z(β).

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях