На каждый день | Функции комплексной переменной

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексным числом z называется пара действительных чисел а и b, следующих одно за другим в указанном порядке. Если b следует за а, то z=(а, b). Два комплексных числа z₁=(a₁, b₁), z₂=(а₂, b₂) считаются равными тогда и только тогда, когда a₁=a₂, b₁=b₂. Число (а, 0) считается равным действительному числу а, т. е. (а, 0)=а. Число (0, b) называется чисто мнимым числом и обозначается ib, т. е. (0, b)=ib; (0, 1)=i - мнимая единица.

Для комплексных чисел устанавливаются операции сложения и умножения с помощью следующих равенств. Пусть z₁(a₁, b₁), z₂(a₂, b₂), тогда z₁+z₂=(a₁+a₂, b₁+а₂), (определение суммы), z₁z₂=(a₁a₂-b₁b₂, a₁b₂+a₂b₁) (определение произведения).

Вычитание и деление определяются как операции, обратные сложению и умножению. Произведение n одинаковых множителей z называется n-й степенью z, zⁿ. Koрень n-й степени из комплексного числа определяется как такое число z₁, что .

На основании указанных определений каждое комплексное число z=(a, b) можно представить в виде z=а+ib, причем i²=-1, . Число а называется действительной частью комплексного числа z=(a, b)=a+ib, а ib - мнимой частью z. Для а и b установлены обозначения: a=Re z, b=Jm z. Число a-ib называется сопряженным числу z=a+ib и обозначается .

Полагая a=r cos φ, b=r sin φ, можно представить комплексное число z=a+ib в виде z=r(cos φ+I sin φ); величины r и φ определяются через а и b по формулам

Число r называется модулем комплексного числа z, r² - нормой; φ - аргументом. С помощью показательной функции комплексного переменного (см. "Комплексные функции") комплексное число z представляется в виде z=reⁱ^φ.

Основные формулы: