На каждый день | Функции комплексной переменной

КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ

Если в комплексной плоскости задана область G, каждой точке которой z=x+iy соответствует комплексное число ω=u+iv, то ω называют функцией от z, ω=f(z). Для функций комплексного переменного вводят понятие дифференцируемости: функция f(z) дифференцируема в точке z, если существует

независимо от того, по какому пути комплексная величина h стремится к нулю; этот предел называется производной и обозначается f'(z).

Необходимые условия дифференцируемости функции f(z)=u+iv в точке z=x+iy (условия Коши-Римана) состоят в том, что в точке (х, у) существуют частные производные функции u, v и выполняются равенства

Эти условия являются также достаточными для того, чтобы функция f(z)=u+iv была дифференцируема в точке z=x+iy, если функции u, v непрерывны в точке (х, у). Функция f(z), дифференцируемая в точке z, называется моногенной в этой точке.

Однозначная функция f(z) называется аналитической в области G, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Функция f(z) называется аналитической в точке z, если она аналитическая в некоторой окрестности точки z. Действительная и мнимая части аналитической функции f(z)=u+iv удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е.

Функция f(z), аналитическая в точке z₀, может быть представлена в некоторой окрестности этой точки степенным рядом

С другой стороны, степенной ряд указанного вида в своем круге сходимости определяет аналитическую функцию.

Таким способом определяются (задаются), в частности, функции:

Интеграл функции комплексной переменной f(z)=u+iv вдоль дуги с определяется так:

Вычисление интеграла производится при помощи формулы

Если внутри и на границе области, ограниченной замкнутым контуром с, f(z) - однозначная аналитическая функция, то (теорема Коши). Если ζ лежит на контуре с, а z - внутри области, то