На каждый день | Функции комплексной переменной

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Аналитическая функция при отображении сохраняет углы и переводит бесконечно малый треугольник в подобный ему с коэффициентом подобия ?f'(z)?. Приводим некоторые конформные отображения.

Дробно-линейная функция преобразует совокупность кругов и прямых плоскости z в совокупность кругов и прямых плоскости ω. Две точки, удовлетворяющие условию , остаются неподвижными.

Линейная функция ω=az+b, где а=re^iφ, дает сдвиг на b, поворот на угол φ и растяжение в r раз. Точки и ∞ неподвижны.

Инверсия ω=1/z. Точка z с полярными координатами (r, φ) переходит в точку с координатами (1/r, φ). Точки z=+1 и z=-1 - неподвижны:

где а - действительное число, отображает круги ?z?=const плоскости z на конфокальные эллипсы плоскости ω, если ?z?≠а, а круг ?z?=a - на участок ?u?≥2а.

Функция ω=zⁿ, где n>0 целое вещественное число, отображает всю плоскость z на n-кратную плоскость Римана, состоящую из n частей; точка ω=0 есть n-кратная точка разветвления.

Функция ω=z^1/α, где α - действительное число, отображает область угла πα, вершина которого, лежит в точке z=0 и одна из сторон которого лежит на положительной оси X, на верхнюю полуплоскость (ω>0), а соответствующий сектор единичного круга - на верхний полукруг .

Функция ω=ln(z²-1). Прямые u=const, v=const плоскости ω, параллельные осям, являются отображениями конфокальных лемнискат с фокусами х=±1 и равнобочных гипербол, проходящих через те же точки.

Функция

(формула Кристоффеля - Шварца) отображает верхнюю полуплоскость ζ на внутреннюю область многоугольника; здесь α₁π - положительные значения внутренних углов многоугольника; а₁, а₂, ..., а_n - действительные числа, расположенные в порядке возрастания; z₀, С, C₁ - комплексные постоянные.

Функция

отображает верхнюю полуплоскость ζ на внешнюю область многоугольника с внешними углами απ.

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях