На каждый день | Геометрическая статика

Центром масс материальной системы (тела) называется точка С приложения равнодействующей системы параллельных сил инерции (см. "Кинетостатика. Принцип Даламбера"), приложенных ко всем точкам системы (тела) и пропорциональных их массам. Центр тяжести совпадает с центром масс. Положение этой точки, называемой также центром параллельных сил, определяется соотношениями:

или в векторной форме

где m_i - масса частицы с координатами x_i, у_i, z_i (радиус-вектор i-й точки ); M=Σm_i - масса всей системы (тела).

Основные положения:

1. Если тело (система) имеет центр (ось или плоскость) материальной симметрии, то центр масс совпадает с этим центром (лежит на этой оси или плоскости).

Материальной симметрией называется случай, когда симметричны не только геометрические размеры, но и массы отдельных частей тела (системы).

2. Если центры масс отдельных частей тела (системы) лежат на одной прямой (плоскости), то и центр масс лежит на этой прямой (плоскости).

3. Если тело имеет полости (пустоты), то его можно рассматривать как систему, состоящую из сплошного тела и тел в форме пустот, имеющих отрицательную массу (метод отрицательных масс).

Координаты центра масс однородных тел:

однородный объем V

однородная поверхность S

однородная линия L

однородная плоская фигура F

Положение центра масс некоторых однородных тел дано в таблице (см. "Теория моментов инерции" табл. 1).

Для определения положения центра масс некоторых тел могут быть полезны теоремы Гюльдена (см. "Тела").

ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ. Разбиваем плоскую фигуру на отдельные части, положение центра тяжести которых известно. В центре тяжести всех частей прикладываем параллельные силы, пропорциональные их площадям. Дальнейшее построение тождественно определению положения следа равнодействующей параллельных сил.

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ. Равновесие материальной системы является устойчивым, если при достаточно малом отклонении ее от этого положения она стремится вернуться в него (рис. 1, а); если при отклонении система стремится удалиться от первоначального положения, равновесие является неустойчивым (рис. 1,б); если система не проявляет тенденции ни к удалению от первоначального положения, ни к возвращению в него, равновесие является безразличным (рис. 1,в).

Рисунок 1.

Принцип Торричелли: если при малом отклонении системы от положения равновесия ее центр тяжести повышается - равновесие устойчиво, если понижается - неустойчиво, если остается на прежнем уровне - безразлично.

УСТОЙЧИВОСТЬ НА ОПРОКИДЫВАНИЕ. В предельный момент перед опрокидыванием тело балансирует, опираясь на точку (линию), вокруг которой происходит опрокидывание. Определяется момент сил, вызывающих опрокидывание, М_опр и момент сил, удерживающих от опрокидывания, М_уд. Отношение М_уд к М_опр называется коэффициентом устойчивости на опрокидывание k_опр.

ПРИМЕР. Для плотины, изображенной на рис. 2, опрокидывание возможно поворотом вокруг ребра О. Коэффициент устойчивости на опрокидывание:

где Р_в - давление воды; Р₃ - давление земли; Q - вес плотины.

Рисунок 2.

Веревочный многоугольник - построение, сводящее плоскую систему из n сил к двум силам, направленным вдоль крайних сторон веревочного многоугольника и равным крайним лучам силового многоугольника.

Порядок построения:

1) нумеруем поля, т. е. участки плоскости между линиями действия соседних сил (рис. 3, а);

2) строим силовой многоугольник (рис. 3,б), обозначая начало и конец каждой силы номерами полей, границей которых она является;

3) выбираем полюс 0 и проводим лучи силового многоугольника 1-0, 2-0 и т. д., соединяя его вершины с полюсом;

4) строим веревочный многоугольник, начиная с произвольной точки в поле 1 и проводя сторону 0-1 в поле 1, параллельно одноименному лучу силового многоугольника, сторону 0-2 в поле 2 и т. д., кончая стороной 0-5 в поле 5 (см. рис. 3, а).

Рисунок 3.

ОСОБЕННОСТИ СИЛОВОГО И ВЕРЕВОЧНОГО МНОГОУГОЛЬНИКОВ В ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ

1. Система сил приводится к равнодействующей. Силовой многоугольник незамкнут, крайние стороны веревочного многоугольника пересекаются (см. рис. 3). Равнодействующая равна замыкающей стороне 1-5 силового многоугольника и проходит через точку m пересечения крайних сторон веревочного многоугольника. Если крайние стороны веревочного многоугольника пересекаются за пределами чертежа, равнодействующую можно определить дополнительным построением, смысл которого ясен из рис. 4.

Рисунок 4.

2. Система приводится к паре. Силовой многоугольник замкнут, крайние стороны веревочного многоугольника параллельны. Момент результирующей пары равен произведению луча 1-0 (он же 0-5) силового многоугольника на расстояние h между параллельными сторонами веревочного многоугольника (рис. 5).

Рисунок 5.

3. Система находится в равновесии. Силовой многоугольник замкнут, веревочный многоугольник сомкнут (т. е. его крайние стороны совпадают) (рис. 6).

Рисунок 6.

ЗАДАЧА О РАЗЛОЖЕНИИ СИЛЫ ПО ТРЕМ НАПРАВЛЕНИЯМ В ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ (СПОСОБ КУЛЬМАНА). Задача сводится к двум последовательным разложениям силы на два направления: сначала раскладываем силу на составляющие P₁ и Р_mn вдоль одной из заданных прямых и вдоль линии mn, соединяющей точку m пересечения силы с прямой 1 и точку n пересечения двух остальных прямых. Затем составляющую раскладываем вдоль линий 2 и 3 (рис. 7) на составляющие и .

Рисунок 7.