На каждый день | Интегральное исчисление

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенным интегралом функции f(x) на отрезке [а, b] называется предел интегральной суммы вида , когда длина наибольшего из частичных интервалов стремится к нулю, т. е.

Если функция непрерывна на отрезке [а, b], то определенный интеграл существует. Имеет место формула Ньютона - Лейбница:

Средним значением функции f(х) на отрезке [а, b] называется отношение

если функция f(x) непрерывна на этом отрезке, то существует такое значение x = ξ, a<ξ

Определенным интегралом могут быть выражены площадь плоской фигуры, длина плоской кривой, объем тела вращения и площадь поверхности вращения вокруг одной из осей координат, равнодействующая нагрузки, действующей на балку, момент этой нагрузки, момент инерции поперечного сечения балки, работа силы, длина пути, количество тепла и т. п.

Понятие определенного интеграла можно распространить на случай бесконечного интервала, а также на случай разрыва непрерывности подынтегральной функции. Такие интегралы называются несобственными. Если функция непрерывна и задана при а≤х<+∞, то

если этот предел (конечный) существует, в этом случае говорят: несобственный интеграл существует (сходится); если конечного предела нет, то несобственный интеграл не существует (расходится). Аналогично

Если функция задана на конечном отрезке и имеет разрыв в точке с этого отрезка, то несобственный интеграл определяется формулой

если оба предела существуют при α и β, стремящихся к нулю независимо друг от друга, то интеграл сходится; если же хотя бы один из пределов не существует, то интеграл расходится. Может случиться, что интеграл расходится, но существует предел

этот предел называется главным значением интеграла. Значения некоторых определенных интегралов:

Встречаются определенные интегралы, в которых подынтегральная функция f(x, α) и пределы интегрирования а (α), b (α) зависят от параметра α. Пусть при α₁≤α≤α₂ функции а(α), b(α) непрерывны и A≤a(α), b(α)≤В; если в прямоугольной области А≤х≤В, α₁≤α≤α₂ функции f(x, a) и f’_a(x, α) непрерывны (как функции двух независимых переменных х, α), то при значениях α из интервала α₁≤α≤α₂ имеем

Если a и b не зависят от параметра α, то последние два слагаемых обращаются в ноль.

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях