На каждый день | Интегральное исчисление

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Аналогично определенному интегралу двойные и тройные интегралы определяются как пределы интегральных сумм:

где f(x,y) - функция, заданная в плоской области С; λ_макс - наибольший из диаметров частичных областей, на которые разбита область С; ?σ_i - площадь i-й частичной области, а ξ_i, η_i - координаты произвольной точки в этой области.

Аналогично

где f(x, у, z) - функция, заданная в пространственной области G.

Если подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования (эта область считается замкнутой, т. е. рассматривается вместе со своей границей), то интегралы существуют.

Вычисление двойного (тройного) интеграла при некоторых ограничениях, налагаемых на границу области, сводится к вычислению двух (трех) определенных интегралов:

где линии x=a, x=b, y=φ₁(x), y= φ₂(x) ограничивают область С или проекцию на плоскость XOY области G (если имеется в виду тройной интеграл), a z=ψ₁(x, у), z= ψ₂(x, у) -поверхности, ограничивающие область G. Вычисление интегралов во многих случаях упрощается посредством замены переменных. Если х и у связаны с новыми переменными u и v соотношениями х=φ(u, v), y=ψ(u, v), то

где

Геометрически замена переменных может быть истолкована как преобразование координат: тогда модуль определителя Якоби выражает коэффициент искажения элемента площади при переходе от системы (х, у) к системе (u, v). Например, при переходе к полярным координатам (x=ρ cos φ, y=ρ sin φ) имеем

Аналогично истолковывается замена переменных в тройном интеграле. При переходе, например, от декартовых координат к сферическим (x=ρ sin θ cos φ, у=ρ sin θ cos φ, z=ρ cos θ) имеем

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях