На каждый день | Интегральные уравнения

УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА

Интегральное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид

Интегральное уравнение Фредгольма первого рода

Уравнение Фредгольма второго рода записывается так:

Уравнение Фредгольма второго рода

где φ(x) - искомая функция; К(х, t) - ядро уравнения - непрерывная функция в прямоугольнике а≤х, t≤b; λ - постоянный параметр; а, b - постоянные пределы интегрирования. Значения λ, при которых однородное уравнение , имеет решения, отличные от нуля, называются собственными значениями ядра К(х, t) или интегрального уравнения, а соответствующие решения φ(x) - собственными функциями ядра. При этих значениях λ неоднородное уравнение имеет решение в том и только в том случае, если

где ψ(x) - любое решение уравнения

это уравнение, отличающееся от данного тем, что в ядре переменная интегрирования и параметр поменялись местами, называется сопряженным. При других значениях λ неоднородное уравнение всегда имеет решение.

Методы решения однородного уравнения. Если ядро симметрично, т. е. К(х, t)=K(t, x) и , то собственное значение и собственную функцию, удовлетворяющую условию , можно найти методом последовательных приближений (итераций): этим методом определяются в результате n-го приближения неизвестные функции φn(х) и соответствующие ей собственные значения параметров λn по формулам

при n→∞ имеем: φn(х)→φ(х), λn(х)→λ. Если λ0 - наименьшее собственное значение ядра, а у(х) - соответствующая собственная функция, то величина

при условии достигает максимума, равного

Методы решения неоднородного уравнения. В общем случае решение имеет вид

Функция

называется резольвентой неоднородного уравнения. С помощью резольвенты решение представляется в виде

Если ядро вырождено, т. е.

 

то решение имеет вид

сi определяется из системы алгебраических уравнений

где

Аппроксимируя заданное ядро вырожденным, получим приближенное решение интегрального уравнения.

Если ядро К(х, t) непрерывно и симметрично и известны все собственные значения λi и собственные функции уi(х) ядра, то при любом несобственном значении λ решение имеет вид

где

Поделитесь ссылкой в социальных сетях