На каждый день | Интегральные уравнения

УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА

Интегральное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид

Уравнение Фредгольма второго рода записывается так:

где φ(x) - искомая функция; К(х, t) - ядро уравнения - непрерывная функция в прямоугольнике а≤х, t≤b; λ - постоянный параметр; а, b - постоянные пределы интегрирования. Значения λ, при которых однородное уравнение , имеет решения, отличные от нуля, называются собственными значениями ядра К(х, t) или интегрального уравнения, а соответствующие решения φ(x) - собственными функциями ядра. При этих значениях λ неоднородное уравнение имеет решение в том и только в том случае, если

где ψ(x) - любое решение уравнения

это уравнение, отличающееся от данного тем, что в ядре переменная интегрирования и параметр поменялись местами, называется сопряженным. При других значениях λ неоднородное уравнение всегда имеет решение.

Методы решения однородного уравнения. Если ядро симметрично, т. е. К(х, t)=K(t, x) и , то собственное значение и собственную функцию, удовлетворяющую условию , можно найти методом последовательных приближений (итераций): этим методом определяются в результате n-го приближения неизвестные функции φ_n(х) и соответствующие ей собственные значения параметров λ_n по формулам

при n→∞ имеем: φ_n(х)→φ(х), λ_n(х)→λ. Если λ₀ - наименьшее собственное значение ядра, а у(х) - соответствующая собственная функция, то величина

при условии достигает максимума, равного

Методы решения неоднородного уравнения. В общем случае решение имеет вид

Функция

называется резольвентой неоднородного уравнения. С помощью резольвенты решение представляется в виде

Если ядро вырождено, т. е.

то решение имеет вид

с_i определяется из системы алгебраических уравнений

где

Аппроксимируя заданное ядро вырожденным, получим приближенное решение интегрального уравнения.

Если ядро К(х, t) непрерывно и симметрично и известны все собственные значения λ_i и собственные функции у_i(х) ядра, то при любом несобственном значении λ решение имеет вид

где

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях