На каждый день | Ряды

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Пусть дана бесконечная последовательность чисел u₁, u₂, …, u_n, … Выражение u₁+u₂+…+u_n+… называется числовым рядом. Выражение, определяющее u_n как функцию номера n, называется общим членом ряда; n-й частичной суммой ряда называется сумма первых его n членов, s_n=u₁+u₂+…+u_n. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел , а число s называется суммой ряда; если же бесконечен или не существует, ряд называется расходящимся.

Исследование ряда на сходимость путем непосредственного исследования s_n удается далеко не всегда, так что требуются косвенные признаки, называемые признаками сходимости.

Необходимый признак: если ряд сходится, то его общий член u_n стремится к нулю при n→∞. Этот признак недостаточен, т. е. если общий член ряда стремится к нулю, то сходимость ряда еще не установлена. Достаточный признак расходимости ряда: общий член его не стремится к нулю.

Для рядов, члены которых положительны, имеется несколько достаточных признаков; здесь даются некоторые из них.

Признак, основанный на сравнении рядов: если u₁+u₂+…+u_n+… и v₁+v₂+…+v_n+… числовые ряды с положительными членами и, начиная с некоторого значения n, выполняется условие u_n≤v_n, то сходимость второго ряда влечет за собой сходимость первого, а расходимость первого влечет за собой расходимость второго.

Признак сходимости Даламбера: если , то ряд сходится при k<1 и расходится при k>l; при k=1 вопрос остается открытым.

Признак сходимости Коши; если , то ряд сходится при k<1 и расходится при k>1; при k=1 вопрос остается открытым.

Интегральный признак сходимости: ряд с общим членом u_n=f(n) сходится, если несобственный интеграл сходится, и расходится, если этот интеграл расходится (а - произвольное число; f(x) - непрерывная положительная убывающая функция в интервале а≤х<+∞).

Ряд называется знакопеременным, если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным следует положительный. Для знакочередующихся рядов имеется достаточный признак сходимости Лейбница: если в знакочередующемся ряде члены убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю, то ряд сходится. Для общего случая знакопеременных рядов имеется следующий достаточный признак; если сходится ряд из абсолютных величин членов данного ряда, то сходится и данный ряд; в этом случае сходимость называют абсолютной. Приведенный признак не является необходимым, т. е. из сходимости знакопеременного ряда не следует сходимость ряда из абсолютных величин. Сходимость знакопеременного ряда называется условной, если этот ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Абсолютно сходящиеся ряды обладают тем свойством, что над ними можно совершать операции, аналогичные операциям над конечными суммами, некоторые из этих операций к условно сходящимся рядам не применимы.

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях