На каждый день | Ряды
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Выражение u1(х)+u2(х)+...+un(х)+..., где функции u1(х), u2(х), …, un(х), ..., образуют бесконечную последовательность функций, называется функциональным рядом. Ряд сходится в точке х=х0, если сходится числовой ряд u1(х0)+u2(х0)+...+un(х0)+... Совокупность точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда. Так как каждой точке области сходимости соответствует определенное число (сумма соответствующего числового ряда), то функциональный ряд выражает некоторую функцию в области сходимости; эта функция называется суммой ряда. Обозначения:
Если для любого ε>0 может быть найдено такое натуральное число N, общее для всех х, лежащих в области сходимости, что ?s(x)-sn(x)?<ε при n>N, то ряд называется равномерно сходящимся в данной области; если такого числа N не существует, то ряд сходится в области неравномерно. Сумма ряда из непрерывных функций, равномерно сходящегося в некоторой области, есть функция непрерывная в этой области.
Равномерно сходящийся в интервале [а, b] ряд u1(х)+u2(х)+...+un(х)+...+… = f(x), у которого члены являются непрерывными на отрезке [а, b] функциями, можно почленно интегрировать в пределах от а до b, т. е. ряд, полученный в результате интегрирования, сходится и
Если члены сходящегося на отрезке [а, b] ряда u1(х)+u2(х)+...+un(х)+...=f(x) имеют в интервале [а, b] конечные производные и если ряд, составленный из этих производных u′1(х)+u′2(х)+...+u′n(х)+..., равномерно сходится в интервале [а, b], то исходный ряд можно почленно дифференцировать в интервале [а, b], т. е. в этом интервале f′(х)=u′1(х)+u′2(х)+...+u′n(х)...
Одним из видов функциональных рядов является степенной ряд a0+a1x+a2x2+…+anxn+…, где а0, а1, ..., аn, ... - заданная последовательность чисел. В зависимости от коэффициентов ряда указанного вида могут иметь место лишь следующие три случая: 1) ряд сходится только при х=0; 2) ряд абсолютно сходится при всех значениях х; 3) ряд абсолютно сходится внутри некоторого интервала с центром в нуле и расходится вне его. Такой интервал называется интервалом сходимости степенного ряда, а полудлина этого интервала - радиусом сходимости.
Степенной ряд обладает свойством равномерной сходимости, так что его сумма есть непрерывная функция, и он допускает почленное интегрирование и дифференцирование в любом интервале, внутреннем по отношению к интервалу сходимости; выражаемая им функция имеет производные любых порядков в области сходимости.
Вернуться к списку
|
Распечатать
|
