На каждый день | Ряды

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Если в некоторой окрестности точки х=а функция f(x) имеет конечные производные f'(x), f"(x), ..., f⁽ⁿ⁺¹⁾(x), то для каждого значения х из этой окрестности справедлива формула Тейлора:

формула Тейлора

где а<ξ<х или x<ξ

Если последний член в формуле Тейлора (остаточный член) стремится к нулю при n→∞, то в данной окрестности точки х=а функция f(x) может быть представлена рядом Тейлора (при а=0 он называется рядом Маклорена):

ряд Тейлора

В частности, такое представление функции f(x) справедливо, если в рассматриваемой окрестности точки х=а выполняется условие

при любом натуральном n (М не зависит от n). Это есть достаточное условие для того, чтобы остаточный член в формуле Тейлора стремился к нулю.

Степенные ряды дают возможность заменить данную функцию приближенно равной ей суммой некоторого числа первых членов ряда, т. е. многочленом; для приложений важны ряды, сходящиеся быстро, т. е. такие, в которых сумма небольшого числа первых членов дает приближение с желаемой точностью. Ниже приводятся некоторые из примечательных степенных рядов.

Биномиальный ряд

Биномиальный ряд

с интервалом сходимости -1<х<1. При m натуральном ряд превращается в многочлен степени m (разложение бинома Ньютона). При m>0 ряд сходится также на границах интервала сходимости, т. е. при х=±1; при -1<0 ряд сходится на правой границе и расходится на левой; при m<-1 ряд расходится на обеих границах.

Частные случаи биномиального ряда:

(убывающая геометрическая прогрессия);

Ряды для некоторых трансцендентных функций:

Последние два ряда сходятся медленно, а потому неудобны для вычисления логарифмов; кроме того, при значениях х из интервала сходимости этих рядов (-1,1) получаются лишь логарифмы чисел, меньших единицы. Вычитая последний ряд из предыдущего, получаем более быстро сходящийся ряд: