На каждый день | Теория вероятности

СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ

В теории вероятностей событием называется результат опыта, осуществляемого при заданных условиях. Событие называется достоверным, если оно неизбежно происходит при данных условиях. Если же при данных условиях событие заведомо не может произойти, то оно называется невозможным. Событие называется случайным, если при данных условиях оно может произойти, а может и не произойти. Для оценки возможности реализации случайного события каждому событию ставится в соответствие некоторое число, называемое вероятностью.

Вероятность невозможного события принимается равной нулю; вероятность достоверного события считается равной единице. Вероятность любого случайного события заключается между нулем и единицей. Она может определяться различным образом для разных классов задач, но в согласии с правилами (аксиомами) сложения и умножения вероятностей, которые для конечного числа событий указываются ниже (современная теория вероятности построена аксиоматическим путем без конкретизации самого понятия вероятности. Простейшее (классическое) определение вероятности Р(А) события А выражается формулой

где N - общее число равновозможных и несовместимых случаев; n - число случаев, благоприятствующих событию А (случай называется благоприятствующим событию А, если при реализации этого случая реализуется и событие А).

Указанная формула может также служить определением (статистическим) приближенного значения вероятности события А, если в результате большого числа N испытаний событие А реализуется n раз.

В задачах, где появлению события А соответствует попадание точки в часть ω области Ω, вероятность Р(А) может быть определена (геометрически) по формуле

(mes ω, mes Ω - меры областей ω и Ω; в частности, для двухмерной области мерой является ее площадь).

Если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло ли событие В или нет, то событие А называется зависящим от события В. Событие А называется не зависящим от события В, если вероятность Р(А) не зависит от того, произошло ли событие В или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается P(A/B).

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, называется суммой событий А и В и обозначается А + В. Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называется их произведением и обозначается АВ.

Правило сложения вероятностей выражается формулой

которая обобщается на любое число слагаемых. Правило умножения вероятностей имеет вид

Это равенство для независимых событий А к В переходит в следующее:

и обобщается на любое число сомножителей.

Пусть событие А может осуществляться с одним и только с одним из n несовместимых событий В₁, В₂, …, В_n. Тогда имеет место равенство

которое называется формулой полной вероятности.

При том же условии относительно события А вероятность события В_i, если событие А произошло, определяется по формуле

называемой формулой Байеса, или формулой вероятности гипотез.

Пусть производится n испытаний, каждое из которых может иметь два исхода - появление и не появление события А. Пусть, кроме того, вероятность р появления события А при каком-нибудь испытании не зависит от номера этого испытания и от результатов остальных испытаний (такие испытания называются независимыми). Тогда вероятность того, что при m испытаниях событие А наступает, а при n-m испытаниях не наступает, если ее обозначить Р_n(А), определяется по формуле

где

Эта формула выражает так называемое биномиальное распределение вероятностей (название связано с наличием в формуле биномиальных коэффициентов С_n^m).

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях