На каждый день | Теория вероятности

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

Случайной называется величина, которая принимает различные значения в результате повторных опытов. Если случайная величина X дискретна, т. е. ее значения могут быть перенумерованы, то она определяется своими значениями х₁, х₂... и их вероятностями p₁, p₂…. Если случайная величина непрерывна, т. е. заполняет своими значениями всю числовую ось или некоторые ее интервалы, то эта величина X определяется областью своих значений и функцией распределения F(x), выражающей вероятность того, что X принимает какое-либо значение (безразлично какое именно), меньшее, чем х, т. е. F(х)=Р(Х<х). Производная этой функции F'(x) называется плотностью вероятности или дифференциальной функцией распределения. Если обозначить плотность вероятности через f(х), то

Для выражения существенных особенностей распределения случайной величины X вводят характеристические числа. Основными из них являются так называемые моменты первого и второго порядка, или, иначе, математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X). Для дискретной случайной величины X, принимающей значения х₁, х₂, ..., х_n с вероятностями р₁, р₂, ..., р_n:

Здесь и ниже для сокращения записи введено обозначение m=М(Х). Для непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности f (x)

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратичным отклонением (или стандартом) и обозначается σ, т. е.

При изучении непрерывных случайных величин широко используется нормальное распределение (или распределение Гаусса), характеризуемое плотностью вероятности

Этой плотности f(x) соответствует функция распределения

При нормальном распределении математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение (стандарт) оказываются соответственно равными числами m и σ из формулы для f(x). При m=0, σ=1 получается нормированная случайная величина X, для которой M(X)=0, D(Х)=1 и

Эти функции табулированы (интеграл во втором равенстве называется интегралом вероятности, или интегралом Гаусса).

Важное значение в теории вероятности имеет закон больших чисел. В простейшем варианте (теорема Я. Бернулли) он формулируется следующим образом.

Пусть n - число наступлений события А в N независимых испытаниях, а р - вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда для любого фиксированного сколь угодно малого числа ε>0 имеем

Если для случайной величины X_n выполняется равенство то говорят, что X_n сходится к A по вероятности. Теорему Я. Бернулли можно сформулировать так: частота n/N события А сходится по вероятности к вероятности р этого события в каждом испытании.

Наряду с одномерными случайными величинами, которые определяются значениями одной переменной, встречаются величины, определяемые значениями двух и более переменных. Для двухмерной случайной величины (X, Y) вводится функция распределения F(х, у)., выражающая вероятность того, что составляющие случайные величины X и Y принимают значения, соответственно меньшие, чем х и у, т.е.

Плотность вероятности f(x, у) для (X, Y) определяется как предел отношения вероятности попадания случайной величины в бесконечно малый прямоугольник, примыкающий к точке (х, у), к площади этого прямоугольника. Тогда

Составляющие X и Y двухмерной случайной величины могут быть либо независимыми друг от друга, либо находиться в некоторой зависимости. Необходимое и достаточное условие их независимости выражается равенством

Для двухмерной величины с независящими составляющими нормальное распределение характеризуется следующей плотностью вероятности f(x, у):

Входящие в это равенство постоянные m_х, m_y оказываются равными математическим ожиданиям составляющих X, Y, а σ_х, σ_у - их средним квадратичным отклонениям (стандартам).

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях