На каждый день | Вариационное исчисление

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Задачей вариационного исчисления является отыскание экстремума функционала. Если каждой функции у(х) из некоторого класса функций соответствует определенное значение величины u, то u называется функционалом, зависящим от у(х); [у(х) - аргумент функционала]; это записывается так: u=u[у(х)]. Аналогично определяется функционал, зависящий от нескольких функций, и функционал, зависящий от функций нескольких независимых переменных. Важным примером функционала является интеграл

Функции у(х) [линии у=у(х)], которые рассматриваются при отыскании экстремума функционала u[у(х)] (они определяются условиями решаемой задачи), называются допустимыми функциями (линиями). Если значение функционала u при у=у₀(х) больше (меньше), чем его значение при всех других допустимых функциях у(х), достаточно близких к у₀(х), то по определению функционал u имеет максимум (минимум) при у=у₀(х). Функции у₀(х), у(х) [линии у=у₀(х), у=у(х)] считаются близкими, если мала величина ?у(х)=у₀(х)?(близость нулевого порядка).

Пусть у(х), у₁(х) - две допустимые функции, т. е. два допустимых значения аргумента функционала. Разность y₁(x)-у(х) называется приращением, или вариацией аргумента функционала по отношению к его рассматриваемому значению у=у(х). Она обозначается через δу, δy=y₁(x)-у(х). Вариацией функционала u [у(х)] называется величина .

Если при у=у₀(х) функционал u=u[у(х)] имеет экстремум, то его вариация бы при у=у₀(х) (предполагается, что она существует) равна нулю, δu=0. Для вышеуказанного функционала I[у(х)] необходимое условие экстремума δI=0 приводит к уравнению Эйлера:

или в развернутом виде

Этому уравнению должна удовлетворять функция у(х), реализующая экстремум функционала I[y(x)]. Поскольку уравнение Эйлера - второго порядка, его интегральные кривые образуют семейство у=у(х, С₁, С₂), зависящее от двух параметров - произвольных постоянных С₁, С₂. Эти кривые называются экстремалями. Пусть по отношению к функционалу I[у(х)] решается вариационная задача с «неподвижными границами», когда на концах интервала [x₁, х₂] допустимые линии у=у(х) должны иметь заданные ординаты: у(х₁)=у₁, у(х₂)=у₂. В этом случае экстремум функционала I[у(х)] (если он существует) реализуется экстремалью, удовлетворяющей указанным граничным условиям.

В случае, когда решается вариационная задача для I[y(x)] с «подвижной границей» (или границами), т.е. когда на конце интервала [х₁, х₂] (пусть для определенности на одном конце х=х₂) ординаты допустимых линий произвольны, то экстремум функционала I[у(х)] (если он существует) реализуется экстремалью, для которой выполняется «естественное граничное условие»:

Таким образом, указанные вариационные задачи сводятся к решению соответствующего дифференциального уравнения при тех или иных граничных условиях. То же самое имеет место по отношению к некоторым более сложным вариационным задачам.

Много задач строительной механики и теории упругости можно привести к задачам вариационного исчисления, а эти последние решить точно (классический пример: решение Эйлера об устойчивости прямолинейного стержня, к концам которого приложены сжимающие силы) или приближенно (используя так называемые прямые методы вариационного исчисления и их обобщения, в частности энергетический метод, метод Бубнова - Галеркина и др.).

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях