На каждый день | Вариационное исчисление

ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ

Для основных случаев вариационных проблем решения путем приведения к дифференциальным уравнениям даны в табл. 1.

Таблица 1.

Основной случай

- дифференциальное уравнение второго порядка относительно y при условиях:

Случай, когда под интегралом содержится вторая производная y′′

- дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно y при условиях:

Случай двух искомых функций

- система двух дифференциальных уравнений второго порядка относительно y и z при условиях:

Случай искомой функции, зависящей от двух переменных x, y

при условии прохождения поверхности u=u(x, y) через заданную кривую

- уравнение в частных производных второго порядка относительно u при условиях: u должно проходить через заданную кривую

Условный экстремум

при условии H=(x, y, z)=0 и граничных условиях

- система трех уравнений относительно трех неизвестных функций y(x), z(x), λ(x)

 

ПРИМЕР: Найти критическую силу P для стержня длиной l, шарнирно опертого по концам.

Потенциальную энергию стержня можно выразить так:

Потенциальная энергия стержня

Требование минимума V дает уравнение

При EI=const имеем

откуда находим При EI переменной уравнение получается сложнее и решение его затруднительно. В этом случае применяют метод Ритца.

Поделитесь ссылкой в социальных сетях
Вернуться к списку
| Наверх |
Распечатать