На каждый день | Вариационное исчисление
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
Если интегрирование дифференциальных уравнений затруднительно, прибегают к прямым методам вариационного исчисления. Сущность их заключается в следующем. Задаются видом искомой функции так, чтобы она удовлетворяла граничным условиям и содержала некоторое количество постоянных параметров. Последние подбирают так, чтобы обратить в минимум искомый функционал. Чаще всего применяют метод Ритца.
Пусть требуется найти функцию у, реализующую минимум интеграла и удовлетворяющую заданным граничным условиям. Искомой функцией задаемся в виде y=a1u1(x)+a2u2(x)+...+anun(x), где u1(x), u2(x), ..., un(x) - последовательность функций, которые в интервале [а, b] линейно независимы, имеют непрерывные вторые производные и удовлетворяют граничным условиям. Подставив это выражение в интеграл Φ, потребуем, чтобы получившаяся после интегрирования функция Φ=Φ(а1, а2, ..., аn) приняла экстремальное значение. Это дает систему уравнений
из которых определяются все ai.
ПРИМЕР: Найти прогиб консольной балки длиной l, нагруженной равномерной нагрузкой q. Задача сводится к отысканию функции, обращающей в минимум потенциальную энергию балки:
Задаемся упругой линией в виде отсюда находим
Условие дает
. Максимальное значение прогиба при x=l:
что отличается от точного значения
Заметим, что в методе Ритца можно не удовлетворять силовым граничным условиям.
Вернуться к списку
|
Распечатать
|
