На каждый день | Векторное и тензорное исчисление

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Величина, определяемая только числовым значением, называется скалярной величиной, или скаляром. Величина, определяемая числовым значением и направлением в пространстве, называется векторной величиной. Она изображается геометрически отрезком, длина которого (в принятой единице масштаба) и направление совпадают, с числовым значением и направлением векторной величины. Такой «направленный» отрезок (отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление в пространстве) называется вектором. Длина вектора называется его модулем. Обычно вектор обозначается буквой с верхней черточкой.

Сумма нескольких векторов определяется вектором, замыкающим ломаную, составленную из векторов-слагаемых. Частные случаи: сумма трех векторов изображается диагональю параллелепипеда (рис. 1), сумма двух векторов изображается диагональю параллелограмма (рис. 2).

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Разность векторов и определяется как вектор , который, будучи сложен с вектором , дает вектор : = , если + = .

Произведением скаляра α и вектора называется вектор , направление которого совпадает с при α>0 и противоположно ему при α<0, а модуль равен произведению модуля вектора на абсолютную величину числа α.

Скалярным произведением векторов и [обозначается или ( )] называется скаляр, определенный по формуле

где φ - угол между направлениями векторов и .

Векторным произведением векторов и (обозначается или [ ]) называется вектор , и притом так, чтобы после совмещения начал векторов , и кратчайший поворот от к , если смотреть с конца , казался совершаемым против часовой стрелки (рис. 3).

Рисунок 3.

Свойства произведений векторов:

Вектор может быть задан тремя скалярными величинами а_х, a_y, a_z - его проекциями на координатные оси. Координатными ортами называются векторы с модулем, равным единице, направленные вдоль положительных направлений осей X, Y, Z; они обозначаются соответственно . Вектор может быть представлен в виде

Скалярное и векторное произведения могут быть представлены в координатной форме следующим образом: если

то

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях