На каждый день | Векторное и тензорное исчисление
ТЕНЗОРЫ
Пусть вектор задан своими координатами а1, а2, a3 системе декартовых координат с базисом
1,
2,
3 (
1,
2,
3 - орты, направленные по осям координат). В другой системе прямоугольных декартовых координат с базисом e′1, e′2, e′3 координаты вектора
будут
где .
Это позволяет определить вектор как совокупность трех величин аi (i=1, 2, 3), которые определены в каждой системе декартовых координат и при переходе от одной из этих систем к другой преобразуются по указанным формулам. При таком определении вектора назовем его тензором (аффинным ортогональным тензором) первого ранга аi (по числу индексов в этом обозначении).
Обобщением данного определения вектора является понятие тензора второго ранга. Если в каждой системе прямоугольных декартовых координат определена совокупность величин aik (i, k=1, 2, 3), которые при переходе от системы координат с базисом 1,
2,
3 к системе координат с базисом
1,
2,
3 преобразуются по формулам
то совокупность величин aik называется аффинным ортогональным тензором, второго ранга (по числу входящих в это обозначение индексов).
Аналогично можно определить тензоры третьего, четвертого и т. д. рангов (и не только в трехмерном пространстве, но и в пространстве любого числа измерений).
Тензор второго ранга можно представить в форме
Тензор называется симметричным, если aik=aki, и кососимметричным, если aik=-aki.
Всякий тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы симметричного и кососимметричного тензоров по формуле
Совокупность девяти компонентов напряжения образует симметричный тензор второго ранга - тензор напряжений
Вернуться к списку
|
Распечатать
|
