На каждый день | Приближенное представление функций

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

Если требуется найти функцию y=F(x), график которой должен пройти через заданные точки (x₀, y₀); (x_n, y_n); ...; (х_n, y_n), то можно пользоваться интерполяционной формулой Лагранжа:

Для этой же цели применяется интерполяционная формула

где

При равных разностях h аргумента пользуются формулой Ньютона:

разности ?y₀, ?²y₀, … вычисляются по формулам

В таблице приведена разностная схема.

Интерполяционная формула Ньютона дает точный результат только в том случае, если в одном из столбцов таблиц разностей всюду получается нуль (это имеет место, если заданная функция - полином). Если значения разностей в каком-либо столбце отличны от нуля, но достаточно малы, формула дает приближенный результат.

Обозначив , представляют формулу Ньютона в виде

Практически сохраняют в правой части формул столько членов, чтобы при добавлении новых членов оставались неизменными те десятичные знаки, которые обеспечивают нужную точность результата. При вычислении значений, относящихся к последним срокам разностной схемы, применяется вторая интерполяционная формула Ньютона:

где

Формула Стирлинга:

где разности соответствуют случаю, когда заданы значения функций …y_n-2, y_-1, y₀, y₁, y₂, …, для значений аргумента

В формулу входят значения функции у, примыкающие с обеих сторон к y₀; поэтому эта формула применяется, когда аппроксимирующая функция должна давать достаточно точные результаты для значения х близко к значению x₀, лежащему в средней части разностной схемы.

Между разностями и производными имеются приводимые здесь зависимости.

Из формулы Ньютона получаем

Из формулы Стирлинга получаем:

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях