На каждый день | Дифференциальные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Уравнение называется дифференциальным, если оно содержит какую-либо производную от неизвестной (искомой) функции (или дифференциал от этой функции). Если искомая функция зависит от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным; если же искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной от неизвестной функции, входящей в уравнение. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая, будучи подставлена вместо неизвестной функции в уравнение, обращает его в тождество; приемы отыскания решений называются интегрированием уравнения. График решения обыкновенного дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Дифференциальные, уравнения допускают бесконечное множество решений (решение обыкновенного дифференциального уравнения может
зависеть от нескольких произвольных постоянных, а решение уравнения в частных производных - от нескольких произвольных функций).
В задачах, приводящих к дифференциальным уравнениям, на искомую функцию накладываются дополнительные условия, называемые начальными и граничными. При этих условиях искомое решение может оказаться единственным. Для обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка начальные условия состоят в том, чтобы в заданной точке х=х0 неизвестная функция у и ее производные у', у", ..., yn-1 принимали заданные значения у0, у0,..., y0(n-1). Отыскание решения уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Каши. Если на концах интервала (х0, x1) заданы те или иные из величин у, у', ..., y(n-1), то такие условия (общим числом n) являются граничными, а отыскание решения, удовлетворяющего этим условиям, называется краевой задачей.
Достаточным условием того, чтобы уравнение y(n)=f(x, у, у', ..., y(n-1)) имело единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(х0)=у0, у'(x0)=у'0,..., у(n-1)(х0)=у0(n-1), является непрерывность функции f(x, у, у',..., y(n-1)) и ее частных производных по аргументам у, у', ..., y(n-1)) в окрестности точки (х0, y0, y'0,.... у0(n-1)).
Решение дифференциального уравнения, зависящее от произвольных постоянных, число которых равно порядку уравнения и значения которых можно выбрать так, чтобы удовлетворить начальным условиям, допускающим единственное решение, называется общим решением дифференциального уравнения. Геометрически оно изображается семейством интегральных кривых. Любое решение дифференциального уравнения, зависящее только от аргумента, можно назвать частным решением. Если в общем решении дать определенные значения произвольным постоянным, то получится частное решение.
Если частное или общее решение получено в виде неявной функции, то оно называется интегралом уравнения (частным или общим).
Обратимся к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка. Точка (х0, у0) называется особой точкой по отношению к указанному уравнению, если через нее не проходит ни одна интегральная кривая этого уравнения или проходят по меньшей мере две интегральные кривые. Решение дифференциального уравнения называется особым, если соответствующая ему интегральная кривая состоит только из особых точек (через каждую точку этой кривой проходит по меньшей мере еще одна интегральная кривая). Особое решение, вообще говоря, не получается из общего решения ни при каких значениях произвольных постоянных; его график является огибающей семейства интегральных кривых, соответствующих общему решению.
Вернуться к списку
|
Распечатать
|
