На каждый день | Дифференциальные уравнения

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Уравнение вида y"=f(x).

Общий интеграл

отсюда интегрированием по частям получаем

или

Эта формула, в частности, выражает зависимость между изгибающим моментом М и нагрузкой p на балку:

где М₀ - изгибающий момент, a Q₀ - перерезывающая сила в сечении балки х=0.

Для случая дифференциального уравнения n-го порядка y⁽ⁿ⁾=f(x) результат обобщается следующим образом:

Уравнение вида y"=f(y).

Общий интеграл

Уравнение вида y"=f(y').

Полагаем y'=z, у"=z'; тогда

Эти равенства дают решение в параметрической форме (z-параметр); исключив из этих уравнений z, получим решение в форме F(х, у, С₁, С₂)=0.

Уравнение вида y"=f(x,y).

Положив у'=z, получаем дифференциальное уравнение первого порядка: z'=f(z, x), интегрирование которого дает z как функцию от х и C₁; затем получим

Уравнение вида y"=f(y,y').

Полагая получаем дифференциальное уравнение первого порядка, интегрирование которого дает z как функцию от у и С₁; затем получим

Примечание: Символ неопределенного интеграла используется для обозначения какой-либо первообразной от подынтегральной функции.

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях