На каждый день | Дифференциальные уравнения

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Интегрирование линейных дифференциальных уравнений связано с понятием линейной независимости функций. Функции у₁, у₂, .... y_n называются линейно зависимыми в данном интервале изменения аргумента х, если в этом интервале выполняется тождество C₁y₁+C₂y₂+…+C_ny_n=0, где C₁, C₂, ..., С_n - постоянные, из которых хоть одна отлична от нуля. Если же в данном интервале изменения х указанное тождество выполняется только тогда, когда все постоянные С₁, С₂, ..., С_n равны нулю, то функции у₁, у₂, ..., y_n называются линейно независимыми в данном интервале.

Необходимое условие линейной зависимости функции: если функции у₁, у₂, ..., у_n линейно зависимы в данном интервале изменения аргумента, то определитель Вронского (вронскиан)

тождественно равен нулю в этом интервале. Отсюда: если W(y₁, y₂, ..., y_n)≠0, то функции линейно независимы в этом интервале (достаточное условие линейной независимости функций).

Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами а₀, a₁, ..., a_n:

Общее решение имеет вид

здесь С₁, С₂, …, С_n - произвольные постоянные; у₁, y₂, …, y_n - линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения (система таких решений называется фундаментальной); у_* - какое-либо частное решение данного неоднородного уравнения.

Для отыскания у₁, у₂, ..., у_n следует найти корня характеристического уравнения:

Простому действительному корню r_m соответствует решение однородного уравнения

Действительному корню r_m кратности k соответствуют решения

Если r_m=α+iβ (комплексный корень), то имеется и сопряженный корень ; этой паре корней соответствуют

Если r_m=α+iβ - комплексный корень кратности k, то имеется и сопряженный корень той же кратности k; этой паре корней соответствуют решения

ПРИМЕР 1. Уравнение изгиба балки на упругом основании

Характеристическое уравнение k⁴+b⁴=0 имеет корни

отсюда получаем

Общее решение однородного уравнения

Для нахождения частного решения у_* неоднородного уравнения либо применяют способ неопределенных коэффициентов, если правая часть имеет структуру, указанную выше (см. 1.9.4), либо пользуются вариацией произвольных постоянных. При этом в общем случае частное решение у_* ищут в форме

Производные С′_i(х) определяют из системы алгебраических линейных уравнений, определитель которой есть определитель Вронского, отличный от нуля в силу линейной независимости решений y₁, у₂, ..., у_n:

имея C′_i(x) находят интегрированием С_i(х).

Наряду с методом вариации произвольных постоянных применяется «символический метод» [1.11.1].

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях