На каждый день | Дифференциальные уравнения

МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Преобразование общего решения. Пусть дано, например, обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка без правой части F(y", у', у, x)=0 и найдено его общее решение, содержащее две произвольные постоянные:

здесь Y₁(x) и Y₂(x) - линейно независимые частные решения уравнения, образующие фундаментальную систему. Дифференцируя, находим

При х=0 имеем

Эти два уравнения решаются относительно C₁ и С₂:

Подставив эти выражения в общее решение, получаем его в виде

Произвольные величины у(0), у'(0) называются начальными параметрами, а Z₁(x), Z₂(x) - функциями влияния. Функции влияния Z₁, Z₂ представляют собой линейные комбинации частных решений:

Аналогично для уравнения четвертого порядка

Частное решение неоднородного уравнения может быть получено методом развертывания общего решения однородного уравнения (см. 5.5.6).

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях