На каждый день | Дифференциальные уравнения

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Во многих приложениях приходится иметь дело с дифференциальным уравнением, которое в случае двух независимых переменных имеет вид

где А, В, С - функции от x и у. Особенно важен случай, когда f линейно относительно ω, ∂ω/∂x, ∂ω/∂y; в этом случае уравнение называется линейным.

Характеристиками уравнения называются интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения

Могут иметь место три случая:

В²-АС>0 - уравнение имеет два семейства действительных характеристик и называется уравнением гиперболического типа;

В²-АС-0 - уравнение имеет одно семейство действительных характеристик и называется уравнением параболического типа;

В²-АС<0 - уравнение не имеет действительных характеристик и называется уравнением эллиптического типа.

Если общие интегралы дифференциального уравнения характеристик имеют вид φ(х, у)=u, ψ(x, y)=v, то, приняв u и v за новые независимые переменные, можно привести уравнение к каноническому виду:

для уравнения гиперболического типа

для уравнения параболического типа

для уравнения эллиптического типа

здесь

Особенно часто встречаются следующие частные случаи рассматриваемого здесь дифференциального уравнения второго порядка:

уравнение распространения колебаний в однородной среде

уравнение теплопроводности

уравнение распространения электрического тока по проводу

уравнение теории потенциала

(уравнение Пуассона). При ρ=0 это уравнение называется уравнением Лапласа, или гармоническим уравнением.

Часто приходится встречаться также с уравнениями более высоких порядков:

уравнение поперечных колебаний балки

где q(x) - масса балки на единицу длины; I(х) - момент инерции поперечного сечения балки;

уравнение изгиба пластинок

где q(x, у) - поверхностная нагрузка; D - цилиндрическая жесткость пластинки.

Уравнение плоской задачи теории упругости (бигармоническое уравнение)

Определяемая дифференциальным уравнением математической физики функция ω должна удовлетворять заданным условиям на границе области интегрирования Ω и в начальный момент времени; эти условия называются граничными и начальными условиями; им должно удовлетворять решение уравнения. Наиболее часто встречаются следующие начальные и граничные условия:

в начальный момент времени t=0 даны значения искомой функции ω(x, t) и ее производной по t:

на границе области Ω[x=x(s), y=y(s)] задана искомая функция ω(x, у):

или производная искомой функции по направлению нормали к границе:

При интегрировании линейных уравнений применяются следующие приемы.

Meтод Фурье (метод разделения переменных) используется для решения линейных уравнений всех трех вышеуказанных типов. Изложим его, обратившись к задаче о свободных колебаниях закрепленной на концах струны. Полагая, что струна расположена на оси X, имеем для прогиба струны ω(x, t) (t - время) уравнение гиперболического типа:

Нужно найти решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям ω(0, t)=ω(l, t)=0 (х=0, х=l - концевые точки струны) и начальным условиям где f(x), φ(х) - заданные функции. Метод Фурье состоит в следующем. Ищется частное решение уравнения колебаний в виде ω=X(x)T(t). При подстановке этого выражения в указанное уравнение переменные разделяются, т. е. приходим к уравнению

где с - постоянная. Нетривиальное решение, удовлетворяющее граничным условиям, получается лишь при с=-k²(k≠0). Тогда

Отсюда

Из граничных условий следует A₁=0, k= (n= 1, 2, ...). Таким образом, получается частное решение уравнения колебаний

удовлетворяющее при любых значениях констант а_n, b_n граничным условиям. Поскольку уравнение колебаний линейно и однородно, его решением будет также ряд

(при условии, что его можно два раза почленно дифференцировать). Коэффициенты а_n, b_n находятся из начальных условий. Из них следует, что должны быть коэффициентами Фурье (см. 1.20.1) соответственно для функций f(x), φ(x) при их разложении в ряды по синусам, т. е.

Метод Римана применяется для решения следующей задачи. Дано линейное уравнение гиперболического типа:

и задана линия l уравнением y=f(x), причем f′(x)≠0. Ищется решение u указанного уравнения такое, что величины u, принимают на линии l заданные значения. Метод состоит в том, что определение значения искомой функции u в произвольной точке М(х₀, y₀) сводится к отысканию вспомогательной функции v(x, у, x₀, у₀) (функции Римана), которая должна удовлетворять уравнению

и условиям

Если функция v найдена, то

Здесь - дуга линии l, причем ордината точки А равна y₀, а абсцисса точки В равна x₀.

В частном случае, когда, а=b=с=0, функция Римана v=1, а в случае, когда, а=b=0, с=const, имеем

где J₀ - функция Бесселя (см. 1.14.4).

Метод Грина. Пусть требуется найти функцию u, которая внутри области D, ограниченной замкнутой линией С, удовлетворяет уравнению эллиптического типа:

а на контуре С принимает заданные значения. Для решения этой задачи ищется функция Грина G(x, у, х₀, y₀), удовлетворяющая «сопряженному» уравнению

и имеющая вид

Здесь (х₀, y₀) - произвольная внутренняя точка области D; U(х, у), V(x, у) - функции непрерывные вместе со своими первыми и вторыми частными производными в области D, причем

Кроме того, функция G(x, у, x₀, y₀) должна равняться нулю на контуре С. Если такая функция найдена, то значение искомой функции и в точке (x₀, y₀) определяется по формуле

где dG/dn - производная функции G по направлению внутренней нормали к контуру С.

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях