На каждый день | Дифференциальные уравнения

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

Метод последовательных приближений. Пусть требуется найти решение уравнения y′=f(x, у), удовлетворяющее условию: y=y₀ при х=х₀. Вместо данного уравнения можно написать

Положим, что в некоторой прямоугольной области изменения х, у с центром в точке (х₀, y₀) функция f(х, у) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица:

где N - постоянная. Тогда последовательность функций (последовательных приближений)

сходится в некоторой окрестности точки х=х₀ к функции у(х), которая является решением данного дифференциального уравнения и удовлетворяет поставленному начальному условию. Останавливаясь на одной из функций у_n (х) указанной последовательности, получают при достаточной большом n приближенное решение с требуемой точностью.

Метод рядов. Допустим, что нужно найти решение уравнения y'=f(x, у), удовлетворяющее начальному условию у(х₀)=y₀. При некоторых ограничениях, накладываемых на функцию f(x, у), эту задачу можно решить следующим образом. Подставляя в правую часть уравнения вместо х, у их начальные значения x₀, у₀, получаем у'(х₀). Затем, последовательно дифференцируя уравнение и заменяя в правой части х, у, у', ... их начальными значениями, определяем шаг за шагом у₀=у′′(х₀), у′′′₀=у′′′(х₀), ... . Это позволяет представить решение у в виде ряда Тейлора (см. "Степенные ряды"). Указанный метод применим к уравнению любого порядка, разрешенному относительно старшей производной, если решается задача Коши.

Численное интегрирование. Требуется найти решение уравнения y"=f(x, у, у′), удовлетворяющее начальным данным у=у₀, у′=у′₀ при х=х₀. Берут ряд последовательных значений x₁, x₂, х_n аргумента х с постоянным приращением ?х=х_n₊₁-х_n и вычисляют значения функции у₁, у₂, …, у_n и ее производной у′₁, у′₂, ..., у′_n, соответствующие этим значениям аргумента, следующим образом. Сначала вычисляют

затем

и находят более точно первое приближение:

Затем все действия с уже найденными величинами повторяют до получения требуемой точности, переходя от n-го приближения к n+1-му следующим образом:

Приближенные методы решения краевых задач. Пусть дано дифференциальное уравнение, обыкновенное или в частных производных L(ω)=M, где L(ω) - дифференциальный оператор от неизвестной функции ω; М - заданная функция от независимых переменных. Положим, что поставлена краевая задача: найти решение указанного дифференциального уравнения в области Ω, удовлетворяющее заданным однородным граничным условиям на границе области. Весьма общим приближенным методом решения этой задачи является обобщенный метод Галеркина. Он состоит в следующем.

Выбираем две системы функций: φ₁, φ₂, ...; ψ₁, ψ₂, .... подчиненные следующим требованиям. Функции φ₁, φ₂, ... удовлетворяют заданным граничным условиям и взятые в любом конечном числе являются линейно независимыми; система ψ₁, ψ₂, ... полна в пространстве L² функций с интегрируемым квадратом. Это означает, что каждая функция из L² может быть с любой точностью аппроксимирована полиномом a₁ψ₁+a₂ψ₂+…+a_nψ_n при достаточно большом n (такое требование эквивалентно условию, чтобы не существовало ненулевой функции из L² ортогональной к каждой функции ψ_n). Если ищется решение ω_n, приближенное в «среднем» в том или ином смысле, то соответственным образом следует трактовать полноту выбираемой системы функции.

Приближенное решение ω_n поставленной краевой задачи ищется в виде

Постоянные коэффициенты A₁, A₂, ..., A_n определяются из условия, чтобы выражение L(ω_n) - М было ортогонально к каждой из функций ψ₁, ψ₂, ψ_n. Это приводит к уравнениям

т. е. получается линейная алгебраическая система относительно коэффициентов А_i:

Таким образом, решение краевой задачи по излагаемому методу сводится к решению указанной системы для A_i.

Из этого метода как частные случаи получаются другие приближенные, методы решения краевых задач. Этот метод тесно связан с так называемыми вариационными методами (его частные формы при некоторых условиях приводят к тем же уравнениям, что и вариационные методы).

а) При ψ_k=φ_k, получается метод Галеркина (или, как его еще называют, метод Бубнова - Галеркина). В этом случае система уравнений для A_i принимает вид

Метод Галеркина часто приводит к довольно точному результату даже при небольшом n (см. ниже пример 1). Для задач, в которых решение ω приводит к минимуму некоторого функционала, этот метод эквивалентен вариационному методу Ритца (см. "Прямые методы").

б) При ψ_k=Λ(φ_k), где Λ - какой-либо подходящим образом выбранный оператор, получается метод моментов. В частности, при ψ_k=L(φ_k) он совпадает с методом наименьших квадратов. Последний состоит в том, что коэффициенты A_iв выражении ω_n определяются из условия, что они обращают в минимум интеграл

Тогда для A_i получаются уравнения

которые совпадают с вышеуказанными общими уравнениями для A_i при ψ_k=L(φ_k).

ПРИМЕР 1. Рассмотрим прямоугольную пластинку (рис. 1), защемленную по всему контуру и находящуюся под действием равномерной, нагрузки q кГ/см². Уравнение для прогиба пластинки: