На каждый день | Функции комплексной переменной
КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ
Если в комплексной плоскости задана область G, каждой точке которой z=x+iy соответствует комплексное число ω=u+iv, то ω называют функцией от z, ω=f(z). Для функций комплексного переменного вводят понятие дифференцируемости: функция f(z) дифференцируема в точке z, если существует
независимо от того, по какому пути комплексная величина h стремится к нулю; этот предел называется производной и обозначается f'(z).
Необходимые условия дифференцируемости функции f(z)=u+iv в точке z=x+iy (условия Коши-Римана) состоят в том, что в точке (х, у) существуют частные производные функции u, v и выполняются равенства
Эти условия являются также достаточными для того, чтобы функция f(z)=u+iv была дифференцируема в точке z=x+iy, если функции u, v непрерывны в точке (х, у). Функция f(z), дифференцируемая в точке z, называется моногенной в этой точке.
Однозначная функция f(z) называется аналитической в области G, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Функция f(z) называется аналитической в точке z, если она аналитическая в некоторой окрестности точки z. Действительная и мнимая части аналитической функции f(z)=u+iv удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е.
Функция f(z), аналитическая в точке z0, может быть представлена в некоторой окрестности этой точки степенным рядом
С другой стороны, степенной ряд указанного вида в своем круге сходимости определяет аналитическую функцию.
Таким способом определяются (задаются), в частности, функции:
Интеграл функции комплексной переменной f(z)=u+iv вдоль дуги с определяется так:
Вычисление интеграла производится при помощи формулы
Если внутри и на границе области, ограниченной замкнутым контуром с, f(z) - однозначная аналитическая функция, то (теорема Коши). Если ζ лежит на контуре с, а z - внутри области, то
Формула для n-й производной
Пример 1. Найти гармоническую (удовлетворяющую уравнению Лапласа) в круге радиуса R функцию по eе значениям на окружности.
Считая в интеграле Коши контур с кругом и перейдя к полярным координатам, найдем
Отделив вещественную часть, получим
Вернуться к списку | Распечатать |